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证明：​$(1)$​∵​$ $​四边形​$ABCD$​为正方形，
∴​$ AD=BC$​，​$∠ ADE=∠ CBF=45°$​。
​$ $​在​$△ ADE$​和​$△ CBF_{中}$​，
​$ \begin {cases}AD=CB， \\∠ ADE=∠ CBF， \\DE=BF，\end {cases}$​
∴​$ △ ADE ≌ △ CBF(\mathrm {SAS})$​。
​$ (2)$​如图，连接​$AC$​交​$BD$​于点​$O$​，

∵​$ $​四边形​$ABCD$​为正方形，​$BD=10$​，
∴​$ BD$​垂直平分​$AC$​，
​$OA=OC=OB=\frac {1}{2}BD=5$​，
∴​$ AF=CF$​，​$AE=CE$​，
​$ $​由​$(1)$​知​$△ ADE ≌ △ CBF$​，
∴​$ AE=CF$​，
∴​$ AF=CF=AE=CE$​，
即四边形​$AFCE$​为菱形。
∵​$ $​四边形​$AECF $​的周长为​$24$​，
∴​$ AF=\frac {1}{4} × 24=6$​，
​$ $​在​$Rt△ AOF{中}$​，
​$OF=\sqrt {AF^2-OA^2}=\sqrt {11}$​，
∴​$ BF=OB-OF=5-\sqrt {11}$​。
​$ C$​
​$ A$​
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