证明：$(1)$连接$BD$，$BF$，$BP$，如图①，
∵$ $四边形$ABCD$、四边形$BEFG $都是正方形，
∴$ ∠ CBD=45°=∠ FBG$，
∴$ ∠ DBF=90°$。
∵$ $四边形$ABCD$是正方形，
∴$ AD=AB$，$∠ DAC=∠ BAC=45°$。
又∵$ AP=AP$，
∴$ △ APD ≌ △ APB(\mathrm {SAS})$，
∴$ BP=DP$，
∴$ ∠ PDB=∠ PBD$。
∵$ ∠ PDB+∠ PFB=90°=∠ PBD+∠ PBF$，
∴$ ∠ PBF=∠ PFB$，
∴$ PB=PF$，
∴$ PD=PF$，
即点$P{恰为}DF $的中点。
$ (2) △ APE$是等腰直角三角形，理由如下：
∵$ $四边形$ABCD$、四边形$BEFG $都是正方形，
∴$ ∠ CAE=∠ PEA=45°$，
∴$ AP=EP$，$∠ APE=90°$，
∴$ △ APE$是等腰直角三角形。
$ (3) △ APE$的形状不改变，理由如下：
$ $延长$EP_{至点}M$，使$PM=EP$，
连接$MA$，$MD$，如图②，
∵$ $四边形$ABCD$、四边形$BEFG $都是正方形，
∴$ AB=AD$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ EBG=90°$，
$BE=EF$，$BG // EF$。
∵$ $点$P $为$DF $的中点，
∴$ PD=PF$。
∵$ ∠ DPM=∠ FPE$，$PM=PE$，
∴$ △ MPD ≌ △ EPF(\mathrm {SAS})$，
∴$ DM=EF$，$∠ DMP=∠ FEP$，
∴$ BE=DM$，$DM // EF$，
∴$ BG // DM$。
$ $设$DM$交$BC$于点$H$，交$BG $于点$N$，
∴$ ∠ MDN=∠ DNB$。
∵$ AD // BC$，
∴$ ∠ ADN=∠ BHN$。
∵$ ∠ BHN+∠ BNH+∠ HBN=180°$，
∴$ ∠ ADM=∠ ADN+∠ MDN$
$=∠ BHN+∠ BNH=180°-∠ HBN$。
∵$ ∠ ABE=360°-∠ ABC-∠ EBG-∠ HBN$
$=180°-∠ HBN$，
∴$ ∠ ADM=∠ ABE$。
又∵$ AD=AB$，
∴$ △ ADM ≌ △ ABE(\mathrm {SAS})$，
∴$ AM=AE$，$∠ DAM=∠ BAE$。
∵$ PM=EP$，
∴$ AP ⊥ ME$，即$∠ APE=90°$。
∵$ ∠ DAM+∠ MAB=90°$，
∴$ ∠ BAE+∠ MAB=90°$，即$∠ MAE=90°$，
∴$ ∠ MAP=∠ PAE=45°$，
∴$ ∠ PEA=45°=∠ PAE$，
∴$ AP=EP$，
∴$ △ APE$是等腰直角三角形。
