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$AE=DF$
证明：​$(2)$​过点​$E$​作​$EM⊥ BC$​于点​$M$​，
则四边形​$ABME$​为矩形，
∴​$AB=EM$​。
​$ $​在正方形​$ABCD$​中，​$AB=BC$​，
∴​$EM=BC$​。
∵​$EM⊥ BC$​，
∴​$∠ MEF+∠ EFM=90°$​。
∵​$BG⊥ EF$​，
∴​$∠ CBG+∠ EFM=90°$​，
∴​$∠ CBG=∠ MEF$​。
​$ $​在​$△ BCG $​和​$△ EMF_{中}$​，
​$ \begin {cases}∠ CBG=∠ MEF \\BC=EM \\∠ C=∠ EMF\end {cases}$​
∴​$△ BCG≌△ EMF(\mathrm {ASA})$​，
∴​$EF=BG$​。
​$ (3)$​连接​$MN$​。
∵​$M，N$​关于​$EF $​对称，
∴​$MN⊥ EF$​。
​$ $​过点​$E$​作​$EH⊥ BC$​于点​$H$​，
过点​$M$​作​$MG⊥ CD$​于点​$G$​，
则​$EH⊥ MG$​。
​$ $​由​$(2)$​同理可得​$△ EHF≌△ MGN$​，
∴​$NG=HF$​。
∵​$AE=2，BF=4$​，
∴​$NG=HF=4-2=2$​。
又∵​$GC=MB=1$​，
∴​$CN=NG+CG=2+1=3$​。

$\dfrac{16}{9}$
$\sqrt{10}$
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$OA=OB，∠ DAO=45°，∠ OBA=45°$​，
∴​$∠ OAM=∠ OBN=135°$​。
∵​$∠ EOF=90°，∠ AOB=90°$​，
∴​$∠ AOM=∠ BON$​。
​$ $​在​$△ OAM$​和​$△ OBN$​中，
​$ \begin {cases}∠ OAM=∠ OBN \\OA=OB \\∠ AOM=∠ BON\end {cases}$​
∴​$△ OAM≌△ OBN(\mathrm {ASA})$​，
∴​$OM=ON$​，
∴​$△ OMN$​是等腰直角三角形。
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