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证明：​$(1)$​如图，连接​$BD$​，​$AC$​交于点​$O.$
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∵​$AB// CD$​，​$AD// BC$​，
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形​$.$​
∵四边形​$ABCD$​中，点​$E，F，G，H$​分别是各
边的中点，
∴​$GF// BD$​，​$HG// AC.$​
∵四边形​$EFGH$​是矩形，
∴​$HG⊥ GF$​，
∴​$BD⊥ AC$​，
∴四边形​$ABCD$​是菱形​$.$​
​$ (2) $​∵四边形​$ABCD$​中，点​$E，F，G，H$​分别是
各边的中点，
∴​$GF=EH=\frac {1}{2}BD$​，​$HG=EF=\frac {1}{2}AC.$​
∵矩形​$EFGH$​的周长为​$22$​，
∴​$BD+AC=22.$​
∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$\frac {1}{2}BD+\frac {1}{2}AC=OB+OA=11.$​
∵四边形​$ABCD$​的面积为​$10$​，
∴​$\frac {1}{2}BD· AC=10$​，即​$2OA· OB=10.$​
∵​$(OA+OB)^2=OA^2+2OA· OB+OB^2=121$​
∴​$OA^2+OB^2=121-10=111$​，
∴​$AB=\sqrt {OA^2+OB^2}=\sqrt {111}.$​
证明：如图①，连接​$BD$​，取​$BD$​的中点​$H$​，连接​$FH$​，​$HE.$​
∵​$E，H$​分别是​$AD，BD$​的中点，
∴​$EH// AB$​，​$EH=\frac {1}{2}AB$​，
∴​$∠ BME=∠ HEF.$​
∵​$F，H$​分别是​$BC，BD$​的中点，
∴​$FH// CD$​，​$FH=\frac {1}{2}CD$​，
∴​$∠ CNE=∠ HFE.$​
∵​$AB=CD$​，
∴​$HE=FH$​，
∴​$∠ HEF=∠ HFE$​，
∴​$∠ BME=∠ CNE.$
​
问题一：​$△ OMN$​为等腰三角形​$.$​
问题二：​$△ AGD$​是直角三角形​$.$​
如图③，连接​$BD$​，取​$BD$​的中点​$H$​，连接​$HF$​，​$HE.$​
∵​$F $​是​$AD$​的中点，
∴​$HF// AB$​，​$HF=\frac {1}{2}AB.$​
同理，​$HE// CD$​，​$HE=\frac {1}{2}CD.$​
∵​$AB=CD$​，
∴​$HF=HE.$​
∵​$∠ EFC=60°$​，
∴​$∠ HEF=60°$​，
∴​$∠ HEF=∠ HFE=60°$​，
∴​$△ EHF $​是等边三角形，
∴​$∠ AGF=∠ HFE=∠ EFC=∠ AFG=60°$​，
∴​$△ AGF $​是等边三角形​$.$​
∵​$AF=FD$​，
∴​$GF=FD$​，
∴​$∠ FGD=∠ FDG=30°$​，
∴​$∠ AGD=90°$​，即​$△ AGD$​是直角三角形​$.$​
问题三:如图④，连接​$BD$​，取​$BD$​的中点​$H$​，
连接​$EH$​，​$HF.$​
∵​$E，F $​分别是​$AD，BC$​的中点，
∴​$EH// AB$​，​$EH=\frac {1}{2}AB=\frac {5}{2}$​，​$HF// CD$​，​$HF=\frac {1}{2}CD=6.$​
∴​$∠ HEF=∠ BMF$​，​$∠ HFE=∠ CNF.$​
又∵​$EF=\frac {13}{2}$​，
∴​$EF^2=\frac {169}{4}.$​
∵​$EH^2=\frac {25}{4}$​，​$HF^2=36$​，
​$EH^2+HF^2=\frac {169}{4}$​，
∴​$EF^2=EH^2+HF^2$​，
∴​$△ EHF $​是直角三角形，
∴​$∠ EHF=90°$​，
∴​$∠ HEF+∠ HFE=90°$​，
∴​$∠ BMF+∠ CNF=90°.$
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