第67页

信息发布者：
​$ A$​
​$ A$​
​$ B$​
解​$： (1)\ \mathrm {DM} ⊥ BE$​，​$DM=BE$​。
证明：设​$BE$​与​$DM$​交于点​$O$​，​$BE$​与​$AD$​交于
点​$P$​。
∵四边形​$ABCD$​，​$AEFM$​都是正方形，
∴​$AM=AE$​，​$AD=AB$​，
​$∠ MAE=∠ DAB=90°$​，
∴​$∠ MAD=∠ EAB$​。
​$ $​在​$△ MAD$​和​$△ EAB$​中，
​$ \begin {cases}AM=AE， \\∠ MAD=∠ EAB， \\AD=AB，\end {cases}$​
∴​$△ MAD ≌ △ EAB(\mathrm {SAS})$​，
∴​$DM=BE$​，​$∠ ABE=∠ ADM$​。
∵​$∠ APB=∠ EPD$​，
∴​$∠ DOP=∠ BAP=90°$​，即​$DM ⊥ BE$​。
​$ (2) $​四边形​$GHQN$​是正方形。
理由：顺次连接​$DE$​，​$EM$​，​$MB$​，​$BD$​的中点
​$G$​，​$H$​，​$Q$​，​$N$​。
∵​$G$​，​$H$​分别是​$DE$​，​$EM$​的中点，
∴​$GH // DM$​且​$GH=\frac {1}{2}DM$​，
​$ $​同理可得​$QN // DM$​且​$QN=\frac {1}{2}DM$​，​$HQ // BE$​
且​$HQ=\frac {1}{2}BE$​，
∴​$GH // QN$​且​$GH=QN$​，
∴四边形​$GHQN$​为平行四边形。
∵​$DM ⊥ BE$​，​$DM=BE$​，
∴​$GH ⊥ HQ_{且}GH=HQ$​，
∴平行四边形​$GHQN$​是正方形。
​$ B$​
$8\ \mathrm{cm}$
$\frac{ab}{2^n}$
解：连接​$EF$​，​$FG$​，​$GH$​，​$EH$​。

∵​$E$​，​$H$​分别是​$AB$​，​$DA$​的中点，
∴​$EH$​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$EH=\frac {1}{2}BD=3$​。
​$ $​同理可得​$EF$​，​$FG$​，​$GH$​分别是​$△ ABC$​，
​$△ BCD$​，​$△ ACD$​的中位线，
∴​$EF=GH=\frac {1}{2}AC=3$​，​$FG=EH=\frac {1}{2}BD=3$​，
∴​$EH=EF=GH=FG=3$​，
∴​$ $​四边形​$EFGH$​为菱形，
∴​$EG ⊥ HF$​。
​$ $​设​$EG $​与​$HF $​的交点为​$O$​，
∴​$EG=2OE$​，​$FH=2OH$​。
​$ $​在​$Rt△ OEH$​中，
根据勾股定理，得​$OE^2+OH^2=EH^2=9$​，
​$ $​等式两边同时乘​$4$​得​$4OE^2+4OH^2=9 × 4=36$​，
∴​$(2OE)^2+(2OH)^2=36$​，即​$EG^2+FH^2=36$​。
上一页 下一页