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解​$： (1) $​甲、乙同学所写的命题都是真命题.
​$ (2) $​证明甲同学：
已知：如图，等腰梯形​$ABCD$​中，​$AB// CD$​，
​$AD=BC.$​
求证：​$∠ A=∠ B$​，​$∠ C=∠ D.$​
如图，过点​$C$​作​$CE// AD$​交​$AB$​于点​$E.$
​
∵​$AE// CD$​，​$AD// CE$​，
∴四边形​$AECD$​是平行四边形，
∴​$AD=CE$​且​$∠ A=∠ CEB.$​
∵​$AD=BC$​，
∴​$CE=BC$​，
∴​$∠ CEB=∠ B$​，
∴​$∠ A=∠ B.$​
∵​$AB// CD$​，
∴​$∠ A+∠ D=180°$​，​$∠ B+∠ BCD=180°$​，
∴​$∠ BCD=∠ D.$​
证明乙同学：
已知：如图，梯形​$ABCD$​中，​$AB// CD$​，
​$∠ A=∠ B.(∠ ADC=∠ BCD$​证明过程同理​$)$​
求证：​$AD=BC.$​
如图，过点​$C$​作​$CE// AD$​交​$AB$​于点​$E.$​
∵​$AE// CD$​，​$AD// CE$​，
∴四边形​$AECD$​是平行四边形，
∴​$AD=CE$​且​$∠ A=∠ CEB.$​
∵​$∠ A=∠ B$​，
∴​$∠ CEB=∠ B$​，
∴​$CE=BC$​，
∴​$AD=BC.$​
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解​$： (1) $​∵​$AB=5$​，​$BC=5$​，​$AC=6$​，
∴​$△ ABC$​不可能是直角三角形，
即​$AB$​与​$CB$​不可能垂直​$.$​
∵梯形​$ABCD$​是直角梯形，
∴​$BC⊥ CD$​，如图①，过点​$B$​作​$BH⊥ AC.$​
∵​$AB=BC=5$​，
∴​$AH=HC=\frac {1}{2}AC=3$​，
∴​$BH=\sqrt {AB^2-AH^2}=4.$​
​$ $​过点​$A$​作​$AE⊥ BC$​，
则​$\frac {1}{2}× BC× AE=\frac {1}{2}× AC× BH$​，
即​$\frac {1}{2}×5AE=\frac {1}{2}×6×4$​，
解得​$AE=\frac {24}{5}.$​
∵​$AD// BC$​，​$AE⊥ BC$​，​$BC⊥ CD$​，
∴四边形​$AECD$​是矩形，
∴​$CD=AE=\frac {24}{5}.$​
​$ (2) $​如图​$②$​，过点​$A$​作​$AE⊥ BC$​，
过点​$D$​作​$DF⊥ BC$​，
由​$(1)$​可知​$AE=DF=\frac {24}{5}$​，
​$BE=\sqrt {AB^2-AE^2}=\frac {7}{5}$​，
∴​$EC=BC-BE=\frac {18}{5}.$​
∵​$AD=x$​，​$CD=y$​，
∴​$EF=x$​，∴​$FC=\frac {18}{5}-x$​，
在​$Rt△ DFC$​中，​$DC^2=DF^2+FC^2$​，
∴​$y^2=(\frac {24}{5})^2+(\frac {18}{5}-x)^2$​，
整理得​$y^2=x^2-\frac {36}{5}x+36.$​
同理可知，当点​$F $​在点​$C$​处或​$BC$​的延长线上时，
​$x$​与​$y$​同样满足上述关系式，
则​$y^2=x^2-\frac {36}{5}x+36(0＜x＜5).$​
​$ (3) △ BCP $​的底边长为​$6$​或​$\frac {14}{5}$​或​$8.$
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