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C
B
6
$\frac{7}{4}$
​$ (1) $​证明：在矩形​$ABCD$​中，​$AD// BC，$​​$∠ B=90°，$​
∴​$∠ FAD=∠ BEA。$​
∵​$DF⊥ AE，$​
∴​$∠ DFA=90°=∠ B。$​
​$ $​在​$△ ABE$​和​$△ DFA$​中，
​$ \begin {cases}∠ B=∠ DFA， \\∠ BEA=∠ FAD， \\AE=DA，\end {cases}$​
∴​$△ ABE≌△ DFA。$​
∴​$AB=DF$​
​$ (2) $​解：∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$BC=AD，$​​$∠ B=90°。$​
​$ $​在​$Rt△ ABE$​中，​$AB^2+BE^2=AE^2。$
​设​$BC=x，$​则​$AE=AD=x，$​​$BE=x-4，$​
∴​$8^2+(x-4)^2=x^2，$​
​$ $​解得​$x=10。$​∴​$BC=10$​
​$ (1) $​解：∵四边形​$OABC$​为矩形，
∴​$OC=AB=6，$​​$∠ A=90°。$​
​$ $​在​$Rt△ OAB$​中，​$OB=\sqrt {OA^2+AB^2}=\sqrt {8^2+6^2}=10，$​
即矩形​$OABC$​的对角线​$OB$​的长为​$10。$​
​$ (2) $​解：∵​$BD⊥ OD，$​∴​$∠ ODB=90°。$​
∵点​$D$​的坐标为​$(0，6)，$​∴​$OD=6。$​
​$ $​在​$Rt△ OBD$​中，​$BD=\sqrt {OB^2-OD^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8，$​
∴点​$B$​的坐标为​$(8，6)。$​
​$ (3) $​解：∵​$OD=6，$​​$AB=6，$​∴​$OD=AB。$​
​$ $​在​$Rt△ OBD$​和​$Rt△ BOA$​中，
​$ \begin {cases}OB=BO， \\OD=BA，\end {cases}$​
∴​$Rt△ OBD≌Rt△ BOA。$​
∴​$∠ OBD=∠ BOA，$​∴​$BE=OE。$​
​$ $​设​$BE=OE=x，$​则​$DE=8-x。$​
​$ $​在​$Rt△ ODE$​中，
由勾股定理得​$OD^2+DE^2=OE^2，$​
即​$6^2+(8-x)^2=x^2，$​
​$ $​解得​$x=\frac {25}{4}。$​∴​$BE=\frac {25}{4}。$​
∴​$△ EOB$​的面积​$=\frac {1}{2}BE· OD=\frac {1}{2}×\frac {25}{4}×6=\frac {75}{4}$​
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