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①③④

 证明：$\because O$是边$AB$的中点，$\therefore OA=OB.$

 在$△ AOD$和$△ BOC$中，

 $\begin{cases}∠ AOD=∠ BOC, \\OA=OB, \\∠ A=∠ B,\end{cases}$

 $\therefore △ AOD ≌ △ BOC.$ $\therefore DA=CB.$

 $\because ∠ A=∠ B=90°，$$\therefore ∠ A+∠ B=180°.$ $\therefore DA// CB.$

 $\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.

 又$\because ∠ A=90°，$$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AB// CD，$$AB=CD.$

∵$BE=AB，$

∴$BE=CD.$

∵$BE// CD，$

∴四边形$BECD$为平行四边形$.$

$ (2) $证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$∠ A=∠ DCB.$

∵$∠ BFD=2∠ A，$

∴$∠ BFD=2∠ DCB.$

∵$∠ BFD=∠ DCB+∠ FDC，$

∴$∠ DCB=∠ FDC.$

∴$DF=CF.$

$ $由$ (1)$得四边形$BECD$为平行四边形，

∴$EF=DF，$$BF=CF，$

∴$DE=BC.$

∴四边形$BECD$是矩形$.$