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B
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​$ (1) $​证明：∵​$D，$​​$E$​分别为​$AB，$​​$AC$​的中点，
∴​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线​$.$​
∴​$DE// BC.$​
∵​$DG=FC，$​
∴四边形​$DFCG $​是平行四边形​$.$​
又∵​$DF⊥ BC，$​
∴​$∠ DFC=90°.$​
∴四边形​$DFCG $​是矩形​$.$​
​$ (2) $​解：∵​$DF⊥ BC，$​
∴​$∠ DFB=90°.$​
∵​$∠ B=45°，$​
∴​$△ BDF $​是等腰直角三角形​$.$​
∴​$BF=DF=3.$​
∵四边形​$DFCG $​是矩形，
∴​$DG=FC=5.$​
∴​$BC=BF+FC=3+5=8.$​
∵​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线，
∴​$DE=\frac {1}{2}BC=4.$​
∵四边形​$DFCG $​是矩形，
∴​$CG=DF=3，$​​$∠ G=90°.$​
∴​$EG=DG-DE=5-4=1.$​
​$ $​在​$Rt△ CGE$​中，​$CE=\sqrt {CG^2+EG^2}=\sqrt {3^2+1^2}=\sqrt {10}.$​
∵​$E$​为​$AC$​的中点，∴​$AC=2CE=2\sqrt {10}.$​
​$ (1) $​证明：∵​$CE$​平分​$∠ ACB，$​​$CF $​平分​$∠ ACD，$​
∴​$∠ ACE=∠ BCE，$​​$∠ ACF=∠ DCF.$​
∵​$MN// BC，$​
∴​$∠ FEC=∠ BCE，$​​$∠ EFC=∠ DCF.$​
∴​$∠ FEC=∠ ACE，$​​$∠ EFC=∠ ACF.$​
∴​$OE=OC，$​​$OF=OC.$​
∴​$OE=OF.$​
​$ (2) $​解：∵​$CE$​平分​$∠ ACB，$​​$CF $​平分​$∠ ACD，$​
∴​$∠ ACE=\frac {1}{2}∠ ACB，$​​$∠ ACF=\frac {1}{2}∠ ACD.$​
∴​$∠ ACE+∠ ACF=\frac {1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=\frac {1}{2}×180°=90°，$
​即​$∠ ECF=90°.$​
​$ $​在​$Rt△ ECF_{中}，$​∵​$CE=12，$​​$CF=5，$​
∴​$EF=\sqrt {CE^2+CF^2}=\sqrt {12^2+5^2}=13.$​
​$ $​由​$ (1)$​知​$OE=OF=OC，$
​∴​$OC=\frac {1}{2}EF=6.5.$​
​$ (3) $​解：当点​$O$​在边​$AC$​的中点处时，四边形​$AECF $​是矩形​$.$​
理由：∵点​$O$​是​$AC$​的中点，
∴​$OA=OC.$​
又∵​$OE=OF，$​
∴四边形​$AECF $​是平行四边形​$.$​
又∵​$∠ ECF=90°，$​
∴四边形​$AECF $​是矩形​$.$​
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