解：$(1)\ \mathrm {A}E=EF=AF$
$ (2) $证明：如图①，连接$AC.$
由题意，易得$△ ABC，$$△ ACD$为等边三角形$.$
∴$AB=AC，$$∠ B=∠ ACF=60°，$$∠ BAC=∠ EAF=60°.$
∴$∠ BAE+∠ EAC=∠ EAC+∠ CAF，$即$∠ BAE=∠ CAF.$
$ $在$△ BAE$和$△ CAF_{中}，$
$ \begin {cases}∠ B=∠ ACF， \\AB=AC， \\∠ BAE=∠ CAF，\end {cases}$
∴$△ BAE ≌ △ CAF.$
∴$BE=CF$
$ (3) $解：如图②，连接$AC，$过点$A$作$AG⊥ BC$于点$G，$过点$F_{作}FH⊥ BC$于点$H.$
∵$∠ EAB=15°，$$∠ ABC=60°，$
∴$∠ AEB=45°.$
$ $在$Rt△ AGB$中，∵$∠ ABG=60°，$$AB=4，$∴$BG=2，$$AG=2\sqrt {3}.$
$ $在$Rt△ AEG_{中}，$∵$∠ AEG=45°，$∴$∠ EAG=45°，$
∴$AG=EG=2\sqrt {3}.$
∴$EB=EG-BG=2\sqrt {3}-2.$
$ $易证$△ AEB ≌ △ AFC，$
∴$AE=AF，$$EB=FC=2\sqrt {3}-2，$$∠ AEB=∠ AFC=45°.$
∵$∠ EAF=60°，$$∠ EAG=45°，$∴$∠ GAF=15°.$
∵$AG⊥ BC，$$FH⊥ BC，$
∴$∠ AGH=∠ FHG=90°，$∴$AG// FH.$
∴$∠ HFA=∠ GAF=15°.$
∵$∠ AFC=45°，$
∴$∠ CFH=∠ AFC-∠ HFA=30°.$
$ $在$Rt△ CHF_{中}，$
∵$∠ CFH=30°，$$FC=2\sqrt {3}-2，$∴$CH=\sqrt {3}-1.$
由勾股定理，得$FH=\sqrt {FC^2-CH^2}=3-\sqrt {3}.$
∴点$F $到$BC$的距离为$3-\sqrt {3}$
