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第63页

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$\sqrt{13}$

$4\sqrt{5}$

$ (1) $证明：∵在正方形$ABCD$中，$AB=CD，$$AB// CD，$

∵$BE=DF，$

∴$AB-BE=CD-DF，$即$AE=CF。$

又∵$AB// CD，$

∴四边形$AECF $是平行四边形。

$ (2) $解：过点$E$作$EH ⊥ CD$于点$H，$则$∠ EHC=∠ EHF=90°。$

∵四边形$ABCD$是正方形，$BC=12，$

∴$AB=BC=CD=AD=12，$$∠ B=∠ BCD=90°。$

∴$∠ EHC=∠ B=∠ BCD=90°，$

∴四边形$EBCH$是矩形。

∴$EH=BC=12，$$CH=BE=5。$

∴$DH=CD-CH=12-5=7。$

∵$BE=DF=5，$

∴$HF=DH-DF=7-5=2。$

$ $在$Rt△ EFH$中，由勾股定理得：

$ EF=\sqrt {EH^2+HF^2}=\sqrt {12^2+2^2}=2\sqrt {37}$

$ (1) $证明：∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$AB=AD，$$∠ BAE=∠ DAE。$

$ $在$△ BAE$和$△ DAE$中，

$ \begin {cases}AB=AD， \\∠ BAE=∠ DAE， \\AE=AE，\end {cases}$

∴$△ BAE ≌ △ DAE。$∴$BE=DE$

$ (2) ① $如图所示。

② 证明：$DG=\sqrt {2}BE$

$ $连接$EG。$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$∠ ECF=45°。$

∵$EF ⊥ AC，$∴$∠ FEC=90°，$

∴$∠ EFC=∠ ECF=45°，$

∴$EF=EC，$$∠ EFB=∠ ECG。$

$ $在$△ BFE$和$△ GCE$中，

$ \begin {cases}BF=GC， \\∠ EFB=∠ ECG， \\EF=EC，\end {cases}$

∴$△ BFE ≌ △ GCE。$

∴$BE=GE，$$∠ BEF=∠ GEC。$

$ $由$(1)$知$△ BAE ≌ △ DAE，$

∴$BE=DE，$$∠ AEB=∠ AED。$∴$DE=GE。$

∵$∠ AEB + ∠ BEF=90°，$

∴$∠ AED+∠ GEC=90°，$∴$∠ DEG=90°。$

$ $在$Rt△ DEG_{中}，$由勾股定理得：$DE^2+GE^2=DG^2。$

∵$DE=GE，$

∴$2DE^2=DG^2，$

∴$DG=\sqrt {2}DE=\sqrt {2}BE$