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$AB=AD$（答案不唯一）

 证明：（1）$\because BD$平分$∠ ABC，$$\therefore ∠ ABD=∠ CBD.$

 在$△ ABD$和$△ CBD$中，

 $\begin{cases}BA=BC, \\∠ ABD=∠ CBD, \\BD=BD,\end{cases}$

 $\therefore △ ABD ≌ △ CBD.$ $\therefore ∠ ADB=∠ CDB.$

 （2）$\because PM⊥ AD，$$PN⊥ CD，$$\therefore ∠ PMD=∠ PND=90°.$

 又$\because ∠ ADC=90°，$$\therefore$ 四边形$MPND$是矩形.

 由（1）知$∠ ADB=∠ CDB，$$\therefore ∠ ADB=\frac{1}{2}∠ ADC=45°.$

 $\because ∠ PMD=90°，$$\therefore ∠ MPD=45°.$

 $\therefore ∠ ADB=∠ MPD=45°，$$\therefore MD=MP.$

 $\therefore$ 四边形$MPND$是正方形.