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$ (1)$证明：如图，过点$D$作$DN⊥ AB$于点$N，$连接$CD.$

∵$∠ C=90°，$$DE⊥ BC，$$DF⊥ AC，$

∴四边形$DECF $是矩形$.$

∵$∠ BAC，$$∠ ABC$的平分线相交于点$D，$

$DE⊥ BC，$$DF⊥ AC，$$DN⊥ AB，$

∴$DF=DN，$$DE=DN，$∴$DF=DE.$

∴四边形$DECF $是正方形$.$

$ (2)$解：∵$BC=8，$$AC=6，$

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10.$

∵$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AC· BC=\frac {1}{2}BC· DE+\frac {1}{2}AC· DF+\frac {1}{2}AB· DN，$

又∵$DE=DF=DN，$设$DE=DF=DN=x，$

$ $则$\frac {1}{2}×6×8=\frac {1}{2}×8x+\frac {1}{2}×6x+\frac {1}{2}×10x，$

$ $解得$x=2.$

∴正方形$DECF $的面积$=DF^2=2^2=4.$

 （1）证明：$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore OA=OC，$$OB=OD，$$AC⊥ BD.$

 $\because BE=DF，$$\therefore OB-BE=OD-DF，$$\therefore OE=OF.$

 $\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形.

 又$\because AC⊥ BD，$$\therefore$ 四边形$AECF$是菱形.

 $\because AC=EF，$$\therefore$ 四边形$AECF$是正方形.

 （2）解：$\because AC⊥ BD，$$AB=\sqrt{26}，$$OB=3\sqrt{2}，$

 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：

 $OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(\sqrt{26})^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{26-18}=2\sqrt{2}.$

 由（1）知四边形$AECF$是正方形，$\therefore OE=OA=2\sqrt{2}，$$∠ AOE=90°.$

 在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：

 $AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+8}=4.$

 （1）证明：如图，过点$E$分别作$EM⊥ BC$于点$M，$$EN⊥ CD$于点$N.$

 $\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore ∠ BCD=90°，$$∠ ECN=45°.$

 $\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°，$$\therefore$ 四边形$EMCN$为矩形.

 又$\because ∠ NEC=∠ ECN=45°，$$\therefore NE=NC，$$\therefore$ 四边形$EMCN$为正方形.

 $\therefore EM=EN，$$∠ NEM=90°.$

 $\because$ 四边形$DEFG$为矩形，$\therefore ∠ DEF=90°=∠ NEM.$

 $\therefore ∠ DEN+∠ NEF=∠ FEM+∠ NEF，$$\therefore ∠ DEN=∠ FEM.$

 在$△ DEN$和$△ FEM$中，

 $\begin{cases}∠ DNE=∠ FME=90°, \\EN=EM, \\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$

 $\therefore △ DEN ≌ △ FEM，$$\therefore ED=EF.$

 $\therefore$ 四边形$DEFG$为正方形.

 （2）解：$CE+CG$的值为定值，定值为4.

 $\because$ 四边形$DEFG$为正方形，$\therefore DE=DG，$$∠ EDC+∠ CDG=90°.$

 $\because$ 四边形$ABCD$为正方形，$\therefore AD=DC，$$∠ ADE+∠ EDC=90°，$

 $\therefore ∠ ADE=∠ CDG.$

 在$△ ADE$和$△ CDG$中，

 $\begin{cases}AD=CD, \\∠ ADE=∠ CDG, \\DE=DG,\end{cases}$

 $\therefore △ ADE ≌ △ CDG，$$\therefore AE=CG.$

 $\because$ 正方形$ABCD$中，$AB=2\sqrt{2}，$

 $\therefore AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4.$

 $\therefore CE+CG=CE+AE=AC=4，$即$CE+CG$的值为定值4.