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(1) $EF⊥AC，$证明如下：
连接$AE,CE。$
∵ $∠ BAD=90°，$$E$是$BD$的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}BD。$
∵ $∠ DCB=90°，$$E$是$BD$的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BD。$
∴ $AE=CE。$
∵ $F$是$AC$的中点，
∴ $EF⊥AC。$
(2) 解：
∵ $BD=10，$$∠ BAD=∠ DCB=90°，$
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}BD=5。$
∵ $AC=8，$$F$是$AC$的中点，
∴ $CF=\frac{1}{2}AC=4。$
∵ $EF⊥AC，$
∴ $∠ CFE=90°。$
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2-CF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
B
6
证明：取$BC$的中点$M，$连接$EM,FM。$
∵ $M,F$分别是$BC,CD$的中点，
∴ $MF// BD，$$MF=\frac{1}{2}BD。$
同理可得，$ME// AC，$$ME=\frac{1}{2}AC。$
∵ $AC=BD，$
∴ $ME=MF，$
∴ $∠ MEF=∠ MFE。$
∵ $MF// BD，$
∴ $∠ MFE=∠ OGH。$
同理可得，$∠ MEF=∠ OHG。$
∴ $∠ OGH=∠ OHG，$
∴ $OG=OH$

证明：∵​$ BD，CE$​分别是边​$AC，AB$​上的中线，
∴​$ AD=\frac {1}{2}AC，$​​$AE=\frac {1}{2}AB，$​
∴​$ ED$​是​$△ ABC$​的中位线，
∴​$ ED// BC，$​​$ED=\frac {1}{2}BC。$​
∵​$ M，N$​分别为线段​$BO$​和​$CO$​的中点，
∴​$ OM=BM，$​​$ON=CN，$​​$MN$​是​$△ OBC$​的中位线，
∴​$ MN// BC，$​​$MN=\frac {1}{2}BC，$​
∴​$ ED// MN，$​​$ED=MN，$​
∴​$ $​四边形​$EDNM$​是平行四边形，
∴​$ OE=ON，$​​$OD=OM。$​
∵​$ AB=AC，$​
∴​$ AE=AD。$​
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ACE$​中，
​$ \begin {cases}AB=AC \\∠ A=∠ A \\AD=AE\end {cases}$​
∴​$ △ ABD≌△ ACE(\mathrm {SAS})，$​
∴​$ BD=CE。$​
又∵​$ OD=OM，$​​$OM=BM，$​​$OE=ON，$​​$ON=CN，$​
∴​$ DM=EN，$​
∴​$ $​四边形​$EDNM$​是矩形
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