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A
$\frac{5}{2}$
$\sqrt{5}-1$
解：连接​$AM.$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=BC=CD=AD=8，$​​$∠ B=∠ C=∠ D=90°.$​
∴​$CE=CD-DE=8-2=6.$​
由翻折的性质，可得​$AF=AD=AB，$​​$∠ AFE=∠ D=90°，$​​$EF=DE=2.$​
∴​$∠ AFM=180°-∠ AFE=90°.$​
∵​$AM=AM，$​∴​$Rt△ ABM≌Rt△ AFM.$​
∴​$BM=FM.$​
​$ $​设​$BM=FM=x，$​则​$CM=8-x，$​​$ME=x+2.$​
​$ $​在​$Rt△ MCE$​中，由勾股定理，
可得​$CM^2+CE^2=ME^2，$​
即​$(8-x)^2+6^2=(x+2)^2，$​解得​$x=\frac {24}{5}.$​
∴​$BM=\frac {24}{5}$​

B
$\frac{21}{4}$
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