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A
$2-\sqrt{3}$
A
B
$\sqrt{41}$
4.8
​$(1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​​$AD=BC。$​
∵​$DE=AD，$​∴​$DE=BC。$​
∵点​$E$​在​$AD$​的延长线上，
∴​$DE// BC。$​
∴四边形​$DBCE$​是平行四边形。
∵​$BE⊥ DC，$​∴四边形​$DBCE$​是菱形。
​$ (2)$​解：如图，作点​$N$​关于​$BE$​的对称点​$N'，$​连接​$PN'，$
​过点​$D$​作​$DH⊥ BC$​于点​$H。$​
由菱形的对称性，知点​$N$​关于​$BE$​的对称点​$N'$​在​$DE$​上，
∴​$PM+PN=PM+PN'。$​
∴当点​$M，$​​$P，$​​$N'$​共线时，​
$PM+PN=PM+PN'=MN'。$​
∵​$DE// BC，$​∴​$MN'$​的长的最小值为​$DH$​的长，
即​$PM+PN$​的最小值为​$DH$​的长。
​$ $​在​$Rt△ DBH$​中，∵易得​$∠ DBC=60°，$​​$DB=2，$​
∴​$∠ BDH=30°。$​∴​$BH=\frac {1}{2}DB=1。$​
由勾股定理，得​$DH=\sqrt {3}，$​
∴​$PM+PN$​的最小值为​$\sqrt {3}。$​
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