【问题原型】
证明：如图①，取$AB$的中点$G，$连接$EG。$
∴$BG=AG=\frac {1}{2}AB。$
∵$E$是边$BC$的中点，
∴$EC=BE=\frac {1}{2}BC。$
∵四边形$ABCD$是正方形，∴$AB=BC，$$∠ B=∠ DCB=90°。$
∴$AG=BG=BE=EC。$∴$∠ BGE=∠ BEG=45°。$
∴$∠ AGE=135°。$
∵$CF $是正方形$ABCD$的外角的平分线，
∴$∠ DCF=45°。$∴$∠ ECF=135°=∠ AGE。$
∵$∠ AEF=90°=∠ ABC，$
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°=∠ AEB+∠ FEC。$
∴$∠ BAE=∠ FEC。$
∴$△ AGE≌△ ECF。$∴$AE=EF。$
【问题应用】
证明：如图②，在$AB$延长线上截取$BG=BE，$连接$EG。$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC，$$∠ ABC=∠ BCD=90°。$
又∵$BG=BE，$∴$AG=CE。$
∵$∠ ABC=∠ BCD=90°，$$BG=BE，$
$CM$为正方形$ABCD$的外角平分线，
∴$∠ AGE=∠ ECF=45°。$
∵$∠ ABE=90°，$$∠ AEF=90°，$
∴$∠ AEB+∠ EAG=90°，$$∠ AEB+∠ FEC=90°。$
∴$∠ EAG=∠ FEC。$
$ $在$△ EAG $和$△ FEC$中，
$ \begin {cases}∠ EAG=∠ FEC， \\AG=EC， \\∠ AGE=∠ ECF，\end {cases}$
∴$△ EAG≌△ FEC。$∴$AE=EF。$
【拓展迁移】
解：如图③，在$AB$上取点$H，$使$AH=CE，$连接$HE。$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC，$$∠ B=∠ BCD=90°。$
∵$∠ AEF=90°，$
∴$∠ AEB+∠ CEF=90°，$$∠ BAE+∠ AEB=90°。$
∴$∠ CEF=∠ BAE。$
∵$AB-AH=BC-EC，$
∴$BH=BE。$∴$∠ BHE=45°。$∴$∠ AHE=135°。$
∵$AH=CE，$$∠ HAE=∠ CEF，$$AE=EF，$
∴$△ HAE≌△ CEF。$
∴$∠ AHE=∠ ECF=135°。$∴$∠ DCF=45°。$
$ $作点$D$关于$CF $的对称点$M，$延长$BC，$
则易知点$B，$$C，$$M$在同一条直线上，连接$AM，$
此时$AF+DF $的最小值即为$AM$的长。
∵$∠ ECF=135°，$∴$∠ FCM=45°。$∴$∠ DMC=45°。$
∵$∠ DCM=90°，$∴$△ DCM$为等腰直角三角形。
∴$DC=MC。$∴$MC=BC=AB=AD=1。$
∴$BM=BC+MC=2。$
$ $在$Rt△ ABM$中，由勾股定理，
得$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt {5}。$
∴$△ ADF $周长的最小值为$1+\sqrt {5}。$
