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解：
$\begin{cases}2023x + 2025y = 10121&①\\2025x + 2023y = 10119&②\end{cases}$
$① - ②，$得$2y - 2x = 2，$即$y = x + 1$ ③
把③代入①，得$2023x + 2025(x + 1) = 10121，$解得$x = 2$
把$x = 2$代入③，得$y = 3$
故原方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$
解：
先化简方程组：
$\begin{cases}\dfrac{2x + 3y}{4} + \dfrac{2x - 3y}{3} = 7\\\dfrac{2x + 3y}{3} + \dfrac{2x - 3y}{2} = 8\end{cases}$
通分整理得：
$\begin{cases}14x - 3y = 84&①\\10x - 3y = 48&②\end{cases}$
$① - ②，$得$4x = 36，$解得$x = 9$
把$x = 9$代入②，得$10×9 - 3y = 48，$解得$y = 14$
故原方程组的解为$\begin{cases}x = 9\\y = 14\end{cases}$
解：设$\dfrac{1}{x + y} = m，$$\dfrac{1}{x - y} = n，$则原方程组可化为：
$\begin{cases}2m - n = 3\\3m + 4n = 10\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 2\\n = 1\end{cases}，$即$\begin{cases}\dfrac{1}{x + y} = 2\\\dfrac{1}{x - y} = 1\end{cases}，$也就是$\begin{cases}x + y = \dfrac{1}{2}\\x - y = 1\end{cases}$
解这个方程组：
两式相加得$2x = \dfrac{3}{2}，$解得$x = \dfrac{3}{4}$
把$x = \dfrac{3}{4}$代入$x - y = 1，$得$y = -\dfrac{1}{4}$
故原方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{3}{4}\\y = -\dfrac{1}{4}\end{cases}$
解：
$\begin{cases}4x - 3y = 6&①\\6x + my = 26&②\end{cases}$
$②×2 - ①×3，$得$(2m + 9)y = 34，$解得$y = \dfrac{34}{2m + 9}$
把$y = \dfrac{34}{2m + 9}$代入①，得$x = \dfrac{3m + 39}{2m + 9}$
因为方程组有整数解，且$m$为整数，所以$2m + 9$是34的整数因数，分析得$2m + 9 = \pm1,\pm17$
解得$m = 4$或$-4$或$-5$或$-13$
故$m$的值为$4$、$-4$、$-5$、$-13$
解：设张强第一次购买香蕉$x\ \mathrm{kg}，$第二次购买香蕉$y\ \mathrm{kg}，$由题意得$\begin{cases}x + y = 50\\0 ＜ x ＜ y\end{cases}，$即$0 ＜ x ＜ 25，$$25 ＜ y ＜ 50$
分情况讨论：
①当$0 ＜ x ≤ 20，$$25 ＜ y ≤ 40$时：
$\begin{cases}x + y = 50\\6x + 5y = 264\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 14\\y = 36\end{cases}，$符合题意；
②当$0 ＜ x ≤ 20，$$40 ＜ y ＜ 50$时：
$\begin{cases}x + y = 50\\6x + 4y = 264\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 32\\y = 18\end{cases}，$与$0 ＜ x ≤ 20$矛盾，舍去；
③当$20 ＜ x ＜ 25，$$25 ＜ y ＜ 30$时：
$\begin{cases}x + y = 50\\5x + 5y = 264\end{cases}，$此方程组无解；
综上，张强第一次购买香蕉$14\ \mathrm{kg}，$第二次购买香蕉$36\ \mathrm{kg}$
解：设两个旅游团分别有$x$人和$y$人（$x ≤ y$）
因为合在一起购票费用为1008元，$1008÷9 = 112，$所以总人数$x + y = 112$
又因为分别购票费用为1314元，$112×11 = 1232 ＜ 1314，$所以$1 ≤ x ≤ 50，$$51 ≤ y ≤ 100$
则$\begin{cases}x + y = 112\\13x + 11y = 1314\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 41\\y = 71\end{cases}$
答：这两个旅游团分别有41人和71人。
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