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 解：解方程$mx - 2 = -3x，$得$x=\frac{2}{m+3}。$

 因为该方程的解为整数，且$m$为整数，所以$m+3$可取$\pm1,\pm2，$

 所以整数$m$可取$-4,-2,-5,-1。$

 解不等式$-2y ＜ 4，$得$y ＞ -2；$

 解不等式$4 - m ＞ 5y - 4，$得$y ＜ \frac{8 - m}{5}。$

 因为原不等式组有且只有4个整数解，

 所以原不等式组的解集为$-2 ＜ y ＜ \frac{8 - m}{5}，$且整数解为$y=-1,0,1,2，$

 所以$2 ＜ \frac{8 - m}{5} ≤ 3，$解得$-7 ≤ m ＜ -2，$

 所以整数$m$可取$-5,-4，$

 则所有符合条件的整数$m$的值之和为$-5+(-4)=-9。$