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第61页

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解：$BD// AC，$理由如下：

$ $因为$BE$平分$∠ DBF，$

所以$∠ EBF=∠ DBE($角平分线的定义$)。$

$ $又因为$∠ EBF=∠ C，$

所以$∠ DBE=∠ C。$

根据同位角相等，两直线平行，

可得$BD// AC。$

 (1) 解：$AC// BD，$理由如下：

 因为$AB// CD，$$∠ A=90°，$

根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ A+∠ C=180°，$

所以$∠ C=90°。$

 又因为$∠ D=90°，$

所以$∠ C+∠ D=180°，$

根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AC// BD。$

 (2) 证明：

 因为$PE⊥ PF，$

所以$∠ EPF=90°，$

则$∠ APE+∠ CPF=90°。$

 又因为$∠ C=90°，$

在$△ PCF$中，$∠ PFC+∠ CPF=90°。$

 根据同角的余角相等，

可得$∠ APE=∠ PFC。$

 解：分四种情况讨论：

 ①当点$P$在$AB$、$CD$之间，且在$MN$左侧时，

过$P$作$PQ// AB。$

 因为$AB// CD，$

所以$PQ// CD，$

则$∠ AMP=∠ MPQ，$$∠ CNP=∠ NPQ。$

 因为$PM⊥ PN，$

所以$∠ MPN=90°，$

即$∠ MPQ+∠ NPQ=90°，$

 所以$∠ AMP+∠ CNP=90°；$

 ②当点$P$在$AB$、$CD$之间，且在$MN$右侧时，

过$P$作$PQ// AB。$

 因为$AB// CD，$

所以$PQ// CD，$

则$∠ AMP+∠ MPQ=180°，$$∠ CNP+∠ NPQ=180°。$

 所以$∠ AMP+∠ CNP+∠ MPQ+∠ NPQ=360°，$

 又因为$∠ MPN=90°，$

即$∠ MPQ+∠ NPQ=90°，$

 所以$∠ AMP+∠ CNP=360°-90°=270°；$

 ③当点$P$在$AB$上方时，过$P$作$PQ// AB。$

 因为$AB// CD，$

所以$PQ// CD，$

则$∠ AMP=∠ MPQ，$$∠ CNP=∠ QPN。$

 因为$PM⊥ PN，$

所以$∠ MPN=90°，$

即$∠ QPN-∠ MPQ=90°，$

 所以$∠ CNP-∠ AMP=90°；$

 ④当点$P$在$CD$下方时，过$P$作$PQ// AB。$

 因为$AB// CD，$

所以$PQ// CD，$

则$∠ AMP+∠ MPQ=180°，$$∠ CNP+∠ QPN=180°，$

 即$∠ AMP=180°-∠ MPQ，$$∠ CNP=180°-∠ QPN。$

 因为$PM⊥ PN，$

所以$∠ MPN=90°，$

即$∠ MPQ-∠ QPN=90°，$

 所以$∠ CNP-∠ AMP=(180°-∠ QPN)-(180°-∠ MPQ)=∠ MPQ-∠ QPN=90°；$

 综上，

当点$P$在$AB$、$CD$之间且在$MN$左侧时，

$∠ AMP+∠ CNP=90°；$

当点$P$在$AB$、$CD$之间且在$MN$右侧时，

$∠ AMP+∠ CNP=270°；$

当点$P$在$AB$上方或$CD$下方时，

$∠ CNP-∠ AMP=90°。$