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解：（1）设短款服装购进$x$件，长款服装购进$y$件。由题意，得
$\begin{cases}x+y=50, \\80x+90y=4300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20, \\y=30.\end{cases}$
$\therefore$ 短款服装购进20件，长款服装购进30件。
（2）设第二次购进$m$件短款服装，则购进$(200-m)$件长款服装。由题意，
得$80m+90(200-m)≤16800，$
解得$m≥120。$
设利润为$w$元，则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000。$
$\because -10＜0，$$\therefore w$随$m$的增大而减小。
$\therefore$ 当$m=120$时，$w$取得最大值，此时$w=-10×120+6000=4800，$$200-m=80。$
$\therefore$ 当购进120件短款服装，80件长款服装时，获得最大利润，最大利润是4800元。
解：​$(1)$​根据题意，得​$\frac {360}{x}=\frac {160}{x-10}，$​解得​$x=18。$​
经检验，​$x=18$​是所列分式方程的解，且符合题意，∴​$x$​的值是​$18。$​
​$ (2)$​设购进甲商品​$m_{件}，$​则购进乙商品​$(80-m)$​件。
​$ $​乙商品每件的进价为​$18-10=8($​元​$)。$​
根据题意，得​$18m+8(80-m)≤820，$​解得​$m≤18。$​
∵​$m≥15，$​∴​$15≤ m≤18。$​
​$ $​设销售完这​$80$​件商品所获得的利润为​$W_{元}，$​
则​$W=(28-18-a)m+(13-8)(80-m)=(5-a)m+400。$​
​$ $​当​$5-a＞0，$​即​$1≤ a＜5$​时，​$W_{随}m $​的增大而增大。
∴当​$m=18$​时，​$W $​取得最大值，此时​$80-m=62。$​
​$ $​当​$5-a=0，$​即​$a=5$​时，​$W=400。$​
​$ $​当​$5-a＜0，$​即​$5＜a≤9$​时，​$W_{随}m $​的减小而增大。
∴当​$m=15$​时，​$W $​取得最大值，此时​$80-m=65。$​
综上所述，当​$1≤ a＜5$​时，购进甲商品​$18$​件，乙商品​$62$​件能使销售完这​$80$​件商品所获
得的利润最大；
当​$a=5$​时，销售完这​$80$​件商品所获得的利润为定值，甲、乙商品可以购进符合条件的
任意件数；
当​$5＜a≤9$​时，购进甲商品​$15$​件，乙商品​$65$​件能使销售完这​$80$​件商品所获得的利润最大。
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