解：
$ (1) $设直线$AB$对应的函数解析式为$y=kx+b. $将$A(-3，0)，$$C(-2，1)$代入，
$ \begin {cases} 0=-3k+b \\1=-2k+b \end {cases}，$
解得$\begin {cases} k=1 \\b=3 \end {cases}$
∴直线$AB$对应的函数解析式为$y=x+3.$
$ (2) $存在
∵直线$AB$对应的函数解析式为$y=x+3，$∴令$x=0，$则$y=3，$
∴$B(0，3)，$即$OB=3.$
∵$C(-2，1)，$∴$S_{△ OBC}=\frac {1}{2}OB·|-2|=\frac {1}{2}×3×2=3.$
∴$S_{△ OMB}=\frac {3}{2}. $设$M(a，a+3)，$
∴$S_{△ OMB}=\frac {1}{2}OB·|a|=\frac {1}{2}×3×|a|=\frac {3}{2}|a|=\frac {3}{2}，$
解得$a=-1$或$a=1.$
∴$M(1，4)$或$(-1，2).$
$ (3) $存在$ $∵$A(-3，0)，$$B(0，3)，$∴$AB=\sqrt {3^2+3^2}=3\sqrt {2}.$
$ ① $当$AB$是菱形的一条边时，
$ $点$P_{1}$与点$B$关于$x$轴对称时，$Q_{1}(3，0)$是点$A$关于$y$轴的对称点，
四边形$ABQ_{1}P_{1}$是菱形；
$ $当点$Q_{2}$在$x$轴上方，四边形$ABP_{2}Q_{2}$为菱形时，
$AQ_{2}=AB=3\sqrt {2}，$∴$Q_{2}(-3，3\sqrt {2})；$
同理，可得当四边形$ABP_{3}Q_{3}$为菱形时，$Q_{3}(-3，-3\sqrt {2}).$
$ ② $当$AB$是菱形的对角线时，设$P_{4}(0，s)，$$Q_{4}(m，n)，$
∴$AB$的中点即为$P_{4}Q_{4}$的中点，且$P_{4}A=P_{4}B($即$P_{4}A^2=P_{4}B^2).$
∴$0+m=-3+0，$$s+n=3，$$(-3-0)^2+s^2=(3-s)^2，$
$ $解得$m=-3，$$n=3，$$s=0，$∴$Q_{4}(-3，3).$
综上所述，点$Q $的坐标为$(-3，3\sqrt {2})$或$(-3，-3\sqrt {2})$或$(-3，3)$或$(3，0).$
