第64页 - 数学 - 05网零5网 0五网新知语文网

$1$

解：由题意得${{\begin {cases} {{3+4＞x-1}} \\{4-3＜x-1}\end {cases}}}$

解得$2＜x＜8$

解：$(1)$证明：

∵$∠2+∠BDE+∠EDC=180°$

$∠1+∠ACE+∠EDC=180°$

$∠1=∠2$

∴$∠ACE=∠BDE$

又∵$∠A=∠B$

$AE=BE$

∴在$△AEC$和$△BED$中：

$\begin {cases}{∠A=∠B}\\{∠ACE=∠BDE}\\{AE=BE}\end {cases}$

∴$△AEC≌△BDE(\mathrm {AAS})$

$(2)$∵$△AEC≌△BED$

∴$ED=EC$

∴$∠C=∠EDC$

又∵$∠1=42°$

∴$∠C=∠EDC=\frac {1}{2}(180°-42°)=69°$

又∵$∠BDE=∠C$

∴$∠BDE=69°$

解：$(1)$

$∵∠ B = ∠ C = 90°， ∠ APD = 90°$

$∴∠ BAP + ∠ APB = 90°， ∠ DPC + ∠ APB = 90°$

$∴∠ BAP = ∠ DPC$

在$△ ABP$和$△ PCD$中

$\begin {cases}∠ B = ∠ C \\∠ BAP = ∠ DPC \\PA = PD\end {cases}$

$∴△ ABP ≌ △ PCD (\mathrm{AAS})$

$∴AB = PC， BP = CD$

$∵BC = BP + PC$

$∴BC = CD + AB$

$(2)$

分别过点$A$、$D$作$AE ⊥ BC$于点$E$，$DF ⊥ BC$于点$F$

在$△ ABE$中，$∠ B = 45° ⇒ AE = BE， AB = \sqrt {2}AE$

在$△ DCF$中，$∠ C = 45° ⇒ DF = CF， CD = \sqrt {2}DF$

$∵∠ APD = 90°， ∠ AEP = ∠ PFD = 90°$

$∴∠ EAP + ∠ APE = 90°， ∠ FPD + ∠ APE = 90°$

$∴∠ EAP = ∠ FPD$

在$△ AEP$和$△ PFD$中

$\begin {cases}∠ AEP = ∠ PFD \\∠ EAP = ∠ FPD \\PA = PD\end {cases}$

$∴△ AEP ≌ △ PFD (\mathrm{AAS})$

$∴AE = PF， DF = PE$

$∵AB + CD = \sqrt {2}AE + \sqrt {2}DF = \sqrt {2}(AE + DF)$

$∵AE = PF， DF = PE$

$∴AB + CD = \sqrt {2}(PF + PE) = \sqrt {2}EF$

$∵BC = BE + EF + CF = AE + EF + DF$

$∴\frac {AB + CD}{BC} = \frac {\sqrt {2}EF}{2EF} = \frac {\sqrt {2}}{2}$