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A
C
$80°$或$50°$
4或$4\sqrt{3}$
解：图中的等腰三角形是$△ MBI$和$△ NIC，$理由如下：
因为$BI$平分$∠ ABC，$所以$∠ MBI=∠ CBI。$
又因为$MN// BC，$所以$∠ MIB=∠ CBI，$
所以$∠ MBI=∠ MIB，$故$MB=MI，$$△ MBI$是等腰三角形。
同理，$CI$平分$∠ ACB，$所以$∠ NCI=∠ BCI，$
因为$MN// BC，$所以$∠ NIC=∠ BCI，$
所以$∠ NCI=∠ NIC，$故$NC=NI，$$△ NIC$是等腰三角形。
证明：
​$ (1) $​因为​$AB=AC，$​所以​$∠ ABC=∠ ACB。$​
​$ $​在​$△ DBC$​和​$△ ECB$​中，
​$ \begin {cases}BD=CE\\∠ DBC=∠ ECB\\BC=CB\end {cases}$​
​$ $​所以​$△ DBC≌△ ECB(\mathrm {SAS})。$​
​$ (2) $​由​$△ DBC≌△ ECB，$​得​$∠ DCB=∠ EBC，$​
​$ $​所以​$OB=OC。$​
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