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证明：
​$ (1) $​∵​$AB=AC，$​点​$D$​是​$BC$​的中点，
∴​$AD$​垂直平分​$BC，$​故​$BE=CE。$​
​$ (2) $​∵​$BF⊥ AC，$​​$∠ BAC=45°，$​
∴​$△ ABF $​是等腰直角三角形，
​$AF=BF$​
​$∠BFC=90°$​
∵​$AD$​是​$BC$​的中垂线
∴​$∠ADC=90°$​
∴​$∠EAF+∠C=90°$​
又∵​$∠C+∠CBF=90°$​
∴​$∠EAF=∠CBF$​
​$ $​在​$△ AEF $​和​$△ BCF_{中}，$​
​$ \begin {cases}∠ AFE=∠ BFC\\AF=BF\\∠ EAF=∠ CBF\end {cases}$​
​$ $​所以​$△ AEF≌△ BCF(\mathrm {ASA})。$​
​$ (1) $​解：​$BE⊥ AB，$​理由如下：
​$ $​因为​$△ ABC$​绕点​$C$​顺时针旋转得到​$△ DEC，$​
​$ $​所以​$AC=DC，$​
​$BC=EC，$​
​$∠ ACD=∠ BCE，$​
​$∠ A=∠ CDE，$​
​$∠ ABC=∠ DEC。$​
​$ $​因为​$∠ ACB=90°，$​
所以​$∠ A+∠ ABC=90°。$​
​$ $​因为​$AC=DC，$​
所以​$∠ A=∠ ADC，$​
则​$∠ ACD=180°-2∠ A，$​
故​$∠ BCE=180°-2∠ A。$​
​$ $​因为​$BC=EC，$​
所以​$∠ CBE=\frac {180°-∠ BCE}{2}=∠ A。$​
​$ $​所以​$∠ ABE=∠ ABC+∠ CBE=∠ ABC+∠ A=90°，$​
即​$BE⊥ AB。$​
​$ (2) $​解：设​$∠ A=x，$​
​$ $​由​$(1)$​知​$∠ CBE=x，$​​$∠ ABC=90°-x，$​​$∠ ADC=x，$​​$∠ CDE=x，$​
​$ $​所以​$∠ BDE=180°-∠ ADC-∠ CDE=180°-2x。$​
​$ $​因为​$BE=BD，$​
所以​$∠ BDE=∠ BED，$​
​$ $​又​$∠ BED=∠ CBE-∠ DEC=x-(90°-x)=2x-90°，$​
​$ $​所以​$180°-2x=2x-90°，$​
​$ $​解得​$x=67.5°，$​
即​$∠ A=67.5°。$​
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