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第72页

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证明：

$ (1)$

∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AB// DC，$$AB=DC。$

∴$∠ ABE=∠ DCF。$

在$△ABE$和$△DCF_{中}$：

$$\begin {cases}{AB=DC} \\{∠ABE=∠DCF} \\{BE=CF}\end {cases} $$

∴$△ABE≌△DCF({SAS})$

∴$AE=DF。$

$ (2) $∵△ABE≌△DCF

∴$∠ E=∠ DFC。$

∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AD// BC，$

∴$∠ ADF=∠ DFC，$

∴$∠ E=∠ ADF。$

解：$(1)$所有平行四边形：

$▱AECF、$$▱EDFB、$$▱EMFN$

证明四边形$EMFN$为平行四边形：

∵四边形$ABCD$为平行四边形

∴$AD//BC$

$AD=BC$

又∵$DF//BE$

$DE//BF$

∴四边形$EDFB$为平行四边形

∴$BF=DE$

∴$AD-DE=BC-BF$

∴$AE=CF$

又∵$AE//CF$

∴四边形$AECF $为平行四边形

∴$EC//AF$

∴$EN//FM$

又∵$EM//FN$

∴四边形$ENFM$为平行四边形

$(2)$证明：∵四边形$ENFM$为平行四边形

∴$∠EMF=∠ENF$

又∵$∠EMF=∠AMB$

$∠ENF=∠CND$

∴$∠AMB=∠CND$

∵四边形$ABCD$和四边形$AFCE$均为平行四边形

∴$∠BAD=∠DCB$

$∠EAF=∠FCE$

$AB=CD$

∴$∠BAM=∠DCN$

在$△AMB$和$△CDN$中：

$\begin {cases}{∠BAM=∠DCN}\\{∠AMB=∠CND}\\{AB=CD}\end {cases}$

∴$△AMB≌△CDN(\mathrm {AAS})$