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证明：
​$ (1)$​
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​​$AD=BC，$​
∴​$∠ ADE=∠ CBF。$​
∵​$AE⊥ AD，$​​$CF⊥ BC，$​
∴​$∠ EAD=∠ FCB=90°。$​
​$ $​在​$△EAD$​和​$△FCB$​中：
​$$\begin {cases}{∠EAD=∠FCB} \\{AD=BC} \\{∠ADE=∠CBF}\end {cases} $$​
∴​$△EAD≌△FCB( {ASA})$​
​$(2)$​
∵​$△ EAD≌△ FCB，$​
∴​$∠ AED=∠ CFB，$​
∴​$AE// CF。$​
解：​$AF// DC$​且​$AF=DC，$​理由如下：
∵​$CF// AB，$​
∴​$∠ FCE=∠ DAE。$​
∵​$E$​为​$AC$​的中点，
∴​$AE=CE。$​
​$ $​在​$△ADE$​和​$△CFE$​中：
​$$\begin {cases}{∠DAE=∠FCE} \\{AE=CE} \\{∠AED=∠CEF}\end {cases} $$​
∴​$△ADE≌△CFE({ASA})$​
∴​$AD=CF。$​
又∵​$AD// CF，$​
∴四边形​$ADCF $​是平行四边形，
∴​$AF// DC$​且​$AF=DC。$​
解：过点A作$AF⊥ BC，$垂足为F。
∵$AB=8\ \mathrm{m}，$$∠ B=60°，$
∴在$Rt△ ABF$中，$BF=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{m}，$
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}。$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD=10\ \mathrm{m}，$
∵E为BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{m}，$
$EF=BE-BF=5-4=1\ \mathrm{m}。$
在$Rt△ AEF$中，
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+1^2}=7\ \mathrm{m}。$
答：所修建的石子路AE长为7米。
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