$(1) $证明$：$
在平行四边形$ABCD$中，$AD // BC$，即$AF // BE$。
因为$BF$平分$∠ ABC$，
所以$∠ ABF = ∠ FBE$。
又因为$AD // BC$，
所以$∠ AFB = ∠ FBE$，
故$∠ ABF = ∠ AFB$，
所以$AB = AF$。
同理，因为$AE$平分$∠ BAD$，
所以$∠ BAE = ∠ DAE$。
又因为$AD // BC$，
所以$∠ DAE = ∠ AEB$，
故$∠ BAE = ∠ AEB$，
所以$AB = BE$。
因此$AF = BE$，
又$AF // BE$，
所以四边形$ABEF$是平行四边形。
又因为$AB = AF$，
所以平行四边形$ABEF$是菱形。
$(2) $解$：$
过点$P$作$PH ⊥ AD$于点$H$。
由(1)知四边形$ABEF$是菱形，
所以$AB = AF = 4$。
在平行四边形$ABCD$中，
$AD = 6$，
所以$FD = AD - AF = 6 - 4 = 2$。
因为$AD // BC$，$∠ ABC = 60°$，
所以$∠ BAD = 180° - ∠ ABC = 120°$。
因为$AE$平分$∠ BAD$，
所以$∠ BAE = \frac {1}{2}∠ BAD = 60°$。
又因为$AB = BE$，
所以$△ ABE$是等边三角形，
故$AE = AB = 4$。
因为$BF$平分$∠ ABC$，$∠ ABC = 60°$，
所以$∠ ABF = \frac {1}{2}∠ ABC = 30°$。
在$△ ABP$中，$∠ BAP = 60°$，$∠ ABP = 30°$，
所以$∠ APB = 180° - 60° - 30° = 90°$，
即$△ ABP$是直角三角形。
在$Rt△ ABP$中，$∠ ABP = 30°$，
所以$AP = \frac {1}{2}AB = \frac {1}{2} × 4 = 2$。
在$Rt△ APH$中，$∠ PAH = 60°$，$∠ APH = 90°$，
所以$∠ AHP = 30°$，
故$AH = \frac {1}{2}AP = \frac {1}{2} × 2 = 1$。
由勾股定理，$PH = \sqrt {AP^2 - AH^2} = \sqrt {2^2 - 1^2} = \sqrt {3}$。
所以$DH = AD - AH = 6 - 1 = 5$。
在$Rt△ PHD$中，$\tan ∠ ADP = \frac {PH}{DH} = \frac {\sqrt {3}}{5}$。
