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（1）解：
$\because$ 菱形的对角线互相垂直平分，边长为10cm，一条对角线长12cm，
$\therefore$ 该对角线的一半为$12÷2=6$cm，
设另一条对角线的一半为$x$cm，由勾股定理得：
$x^2+6^2=10^2，$
解得$x=8，$
$\therefore$ 另一条对角线的长度为$8×2=16$cm。
（2）解：


比例尺为$1:2，$则图纸上菱形的两条对角线长分别为$12×\frac{1}{2}=6$cm，$16×\frac{1}{2}=8$cm，
图纸上菱形的面积为$\frac{1}{2}×6×8=24$cm²。
答：图纸上菱形的面积为$24$cm²。

​$ (1)$​证明：
∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD// BC，$​
∴​$∠ DAF=∠ F，$​
∵​$∠ F=45°，$​
∴​$∠ DAF=45°，$​
∵​$AF $​平分​$∠ BAD，$​
∴​$∠ BAD=2∠ DAF=90°，$​
∴平行四边形​$ABCD$​是矩形。
​$ (2)$​解：
∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AB=CD=14，$​​$∠ D=90°，$​
∵​$∠ DAF=45°，$​
∴​$△ ADE$​是等腰直角三角形，
∴​$AD=DE=8，$​
∴​$CE=CD-DE=14-8=6，$​
∴​$BE=\sqrt {BC^2+CE^2}=\sqrt {8^2+6^2}=10，$​
​$ $​过点​$B$​作​$BG⊥ AE$​于点​$G，$​
∵​$AE=\sqrt {AD^2+DE^2}=\sqrt {8^2+8^2}=8\sqrt {2}，$​
​$ $​由​$S_{△ ABE}=\frac {1}{2}AB· AD=\frac {1}{2}AE· BG，$​
得：​$\frac {1}{2}×14×8=\frac {1}{2}×8\sqrt {2}× BG，$​
​$ $​解得​$BG=7\sqrt {2}，$​
​$ $​在​$Rt△ BGE$​中，
​$sin∠ AEB=\frac {BG}{BE}=\frac {7\sqrt {2}}{10}。$​
​$ (1)$​解：
​$ $​在​$Rt△ ABC$​中，​$∠ B=90°，$​​$∠ A=60°，$​​$AC=100\ \mathrm {cm}，$​
∴​$AB=AC·\mathrm {cos}60°=100×\frac {1}{2}=50\ \mathrm {cm}，$​
由题意得：​$CD=4t，$​​$AE=2t，$​则​$AD=AC-CD=100-4t，$​
∵​$DF⊥ BC，$​​$∠ C=30°，$​
∴​$DF=\frac {1}{2}CD=2t，$​
∵​$∠ B=90°，$​​$DF⊥ BC，$​
∴​$DF// AB，$​
又∵​$DF=AE=2t，$​
∴四边形​$AEFD$​是平行四边形，
​$ $​若四边形​$AEFD$​是菱形，则​$AD=AE，$​
​$ $​即​$100-4t=2t，$​解得​$t=\frac {50}{3}，$​
∵​$0＜\frac {50}{3}≤25，$​
∴当​$t=\frac {50}{3}$​时，四边形​$AEFD$​是菱形。
​$ (2)$​解：分三种情况讨论：
​$ ①$​当​$∠ EDF=90°$​时，
∵​$DF// AB，$​​$∠ B=90°，$​
∴四边形​$DEBF $​是矩形，
∴​$DE// BC，$​
∴​$∠ ADE=∠ C=30°，$​
​$ $​在​$Rt△ ADE$​中，​$∠ A=60°，$​
∴​$AE=\frac {1}{2}AD，$​
​$ $​即​$2t=\frac {1}{2}(100-4t)，$​
解得​$t=\frac {25}{2}；$​
​$ ②$​当​$∠ DEF=90°$​时，
∵四边形​$AEFD$​是平行四边形，
∴​$AD// EF，$​
∴​$∠ ADE=∠ DEF=90°，$​
​$ $​在​$Rt△ ADE$​中，​$∠ A=60°，$​
∴​$AD=\frac {1}{2}AE，$​
​$ $​即​$100-4t=\frac {1}{2}×2t，$​
解得​$t=20；$​
​$ ③$​当​$∠ DFE=90°$​时，
∵​$DF// AB，$​​$∠ B=90°，$​
∴​$∠ DFB=90°，$​
​$ $​此时点​$E$​与点​$B$​重合，​$AE=AB=50，$​​$t=\frac {50}{2}=25，$​
​$ $​但此时​$CD=4×25=100，$​点​$D$​与点​$A$​重合，​$△ DEF $​不存在，故舍去。
综上，当​$t=\frac {25}{2}$​或​$20$​时，​$△ DEF $​为直角三角形。
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