第81页 - 数学 - 05网零5网 0五网新知语文网

$ (1)$证明：

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$AB=AD=CD，$$∠ BAD=∠ CDA=90°，$

∵$△ ADE$是等边三角形，

∴$AE=AD=DE，$$∠ EAD=∠ EDA=60°，$

∴$∠ BAE=∠ BAD+∠ EAD=150°，$

$∠ CDE=∠ CDA+∠ EDA=150°，$

$ $在$△ BAE$和$△ CDE$中，

$ \begin {cases}AB=CD\\∠ BAE=∠ CDE\\AE=DE\end {cases}$

∴$△ BAE≌△ CDE(\mathrm {SAS})，$

∴$BE=CE；$

$ (2)$解：由$(1)$知$AB=AE，$$∠ BAE=150°，$

∴$∠ ABE=∠ AEB=\frac {180°-150°}{2}=15°，$

$ $同理$∠ DCE=∠ DEC=15°，$

∵$∠ AED=60°，$

∴$∠ BEC=∠ AED-∠ AEB-∠ DEC$

$=60°-15°-15°$

$=30°。$

 (1)证明：

 ∵四边形ABCD是正方形，

 ∴$AB=CB，$$∠ ABC=90°，$

 ∵$△ EBF$是等腰直角三角形，$∠ EBF=90°，$

 ∴$BF=BE，$$∠ ABF=∠ CBE，$

 在$△ ABF$和$△ CBE$中，

 $\begin{cases}AB=CB\\∠ ABF=∠ CBE\\BF=BE\end{cases}$

 $\therefore△ ABF≌△ CBE(\mathrm{SAS})；$

 (2)解：$△ CEF$是直角三角形，理由如下：

 ∵$△ EBF$是等腰直角三角形，

 ∴$∠ BFE=∠ BEF=45°，$

 由(1)知：

$△ ABF≌△ CBE，$

 $\therefore∠ AFB=∠ CEB，$

 ∵$∠ AFB+∠ BFE=180°，$

 $\therefore∠ CEB+45°=180°，$即$∠ CEB=135°，$

 $\therefore∠ CEF=∠ CEB-∠ BEF=135°-45°=90°，$

 $\therefore△ CEF$是直角三角形。

$ (1)$证明：

$ $连接$CD，$

∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°，$$D$是$AB$中点，

∴$CD=AD，$$∠ A=∠ DCF=45°，$$CD⊥ AB，$

$ $在$△ ADE$和$△ CDF_{中}，$

$ \begin {cases}AE=CF\\∠ A=∠ DCF\\AD=CD\end {cases}$

∴$△ ADE≌△ CDF(\mathrm {SAS})，$

∴$DE=DF，$$∠ ADE=∠ CDF，$

∵$∠ ADE+∠ EDC=90°，$

∴$∠ CDF+∠ EDC=∠ EDF=90°，$

∵$O$是$EF_{中点}，$$GO=OD，$

∴四边形$EDFG $是平行四边形，

又∵$DE=DF，$$∠ EDF=90°，$

∴四边形$EDFG $是正方形；

$ (2)$解：设$AE=x，$则$CF=x，$$CE=4-x，$

$ $在$Rt△ CEF_{中}，$

$EF^2=CE^2+CF^2=(4-x)^2+x^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8，$

$ $当$x=2$时，$EF^2$取得最小值$8，$

∵四边形$EDFG $是正方形，其面积为$\frac {1}{2}EF^2，$

∴面积最小值为$\frac {1}{2}×8=4，$

$ $即当$E$为$AC$中点时，四边形$EDFG $的面积最小，最小值为$4。$