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证明：
​$ (1) $​∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AD// BC，$​​$AD=BC。$​
∵​$E、$​​$F_{分别是}AD、$​​$BC$​的中点，
∴​$AE=\frac {1}{2}AD，$​​$CF=\frac {1}{2}BC，$​
∴​$AE=CF，$​且​$AE// CF，$​
∴四边形​$AFCE$​是平行四边形。
​$ (2) $​∵四边形​$AFCE$​是平行四边形，
∴​$CE// AF，$​
∴​$∠ DGE=∠ AHD=∠ BHF。$​
∵​$AD// BC，$​
∴​$∠ EDG=∠ FBH。$​
∵​$E、$​​$F $​是​$AD、$​​$BC$​中点，​$AD=BC，$​
∴​$DE=BF。$​
​$ $​在​$△ DEG $​和​$△ BFH$​中，
​$ \begin {cases}∠ EDG=∠ FBH \\∠ DGE=∠ BHF \\DE=BF\end {cases}$​
∴​$△ DEG≌△ BFH(\mathrm {AAS})，$​
∴​$EG=FH。$​
​$ (1) $​证明：
∵菱形​$ABCD$​的对角线​$AC、$​​$BD$​相交于点​$O，$​
∴​$O$​是​$BD$​的中点。
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$OE$​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$OE// AB。$​
又∵​$OG// EF，$​
∴四边形​$OEFG $​是平行四边形。
又∵​$EF⊥AB$​
∴​$∠ EFG=90°，$​
∴​$ $​平行四边形​$OEFG $​是矩形。
​$ (2) $​解：∵​$ $​菱形​$ABCD$​中​$AD=10，$​
∴​$AB=AD=10。$​
∵​$OE$​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$OE=\frac {1}{2}AB=5。$​
​$ $​在​$Rt△ AEF_{中}，$​​$AE=\frac {1}{2}AD=5，$​​$EF=4，$​
∴​$AF=\sqrt {AE^2-EF^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3。$​
∵​$ $​四边形​$OEFG $​是矩形，
∴​$FG=EF=4，$​
∴​$BG=AB-AF-FG=10-3-4=2。$​

​$ (1) $​证明：过点​$P_{作}PM⊥ x$​轴于​$M，$​​$PN⊥ y$​轴于​$N。$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$PA=PB，$​​$∠ APB=90°。$​
∵​$∠ PMO=∠ PNO=∠ MON=90°，$​
∴四边形​$PMON$​是矩形，
∴​$∠ NPM=90°，$​
∴​$∠ APB=∠ NPM，$​
∴​$∠ APM=∠ BPN。$​
​$ $​在​$△ APM$​和​$△ BPN$​中，
​$ \begin {cases}∠ PMA=∠ PNB=90° \\∠ APM=∠ BPN \\PA=PB\end {cases}$​
∴​$△ APM≌△ BPN(\mathrm {AAS})，$​
∴​$PM=PN，$​
∴点​$P $​在第一象限的平分线上。
​$ (2) $​解：∵点​$P $​在第一象限的平分线上，设​$P(a，a)。$​
∵​$OP=4\sqrt {2}，$​
∴​$\sqrt {a^2+a^2}=4\sqrt {2}，$​
​$ $​解得​$a=4，$​即​$P(4，4)。$​
​$ $​设​$A(x，0)，$​​$B(0，y)，$​由​$△ APM≌△ BPN$​得​$x+y=8，$​
又∵​$AB=6，$​
∴​$x^2+y^2=36。$​
​$ $​联立​$\begin {cases}x+y=8\\x ^2+y^2=36\end {cases}，$​
解得​$x=4+\sqrt {2}$​或​$x=4-\sqrt {2}，$​
∴点​$A$​的坐标为​$(4+\sqrt {2}，0)$​或​$(4-\sqrt {2}，0)。$​
​$ (3) $​解：取​$AB$​的中点​$Q，$​连接​$OQ、$​​$CQ。$​
∵正方形​$ABCD$​边长为​$6，$​
∴​$AB=6，$​
∴​$OQ=\frac {1}{2}AB=3，$​​$CQ=\sqrt {6^2+3^2}=3\sqrt {5}。$​
∵​$OC≤ OQ+CQ，$​
当​$O、$​​$Q、$​​$C$​三点共线时，​$OC$​取得最大值，
∴​$OC$​的最大值为​$3+3\sqrt {5}。$​
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