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第93页

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证明：(1)

∵五边形ABCDE为正五边形

∴$\overset {\frown }{AB}$的度数$=\frac {1}{5}×360°=72°$，

$∴∠ BEA=36°$.

$∵\overset {\frown }{EC}$的度数$=\frac {2}{5}×360°=144°$，

$∴∠ EAC=\frac {1}{2}×144°=72°$，

$∴∠ EMA=180°-36°-72°=72°=∠ EAM$，

$∴ME=AE$.

又$AE=AB$，

$∴ME=AB$.

(2)$∵BC=AB$，

$∴∠ CAB=∠ BEA$.

又$∵∠ ABM=∠ EBA$，

$∴△ ABM ∽ △ EBA$，

$∴\frac {AB}{BE}=\frac {BM}{AB}$，

$∴AB^2=BE· BM$.

又$∵AB=ME$，

$∴ME^2=BE· BM$.

$2\sqrt{3}$

 解：五边形AEBCF是$\odot O$的内接正五边形，理由如下：

 因为$AB=AC，$$∠ BAC=36°，$

 所以$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°，$

 则$\overset{\frown}{BC}$的度数为$72°，$

$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\frac{360°-72°}{2}=144°。$

 因为AB的垂直平分线交$\odot O$于E，

所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=72°，$

 同理$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}=72°。$

 所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{AF}=72°，$

 即五边形AEBCF的各边所对的弧相等，

故五边形AEBCF是$\odot O$的内接正五边形。