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解：​$(1) $如图所示。​
证明：
∵​$△ ABD$​和​$△ ACE$​是等边三角形，
∴​$AB=AD，$​​$AC=AE，$​​$∠ BAD=∠ CAE=60°，$​
∴​$∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC，$​即​$∠ CAD=∠ BAE，$​
​$ $​在​$△ CAD$​和​$△ EAB$​中，
​$ \begin {cases}AD=AB \\∠ CAD=∠ BAE \\AC=AE\end {cases}$​
∴​$△ CAD≌△ EAB(\mathrm {SAS})，$​
∴​$BE=CD。$​
​$ (2) $​以​$AD$​为边向​$△ ADC$​外作等边​$△ ADE，$​连接​$CE，$​
​$ $​由​$(1)$​的结论可得​$△ BAD≌△ CAE，$
​∴​$BD=CE，$​
​$ $​在​$△ CDE$​中，​$CD=2，$​​$DE=3，$​​$∠ CDE=135°，$​
由余弦定理得：
​$ CE^2=CD^2+DE^2-2· CD· DE·\mathrm {cos}135°=2^2+3^2-2×2×3×(-\frac {\sqrt {2}}{2})=13+6\sqrt {2}，$​
∴​$CE=\sqrt {22}，$​
即​$BD=\sqrt {22}。$​
D
C
$3-\sqrt{5}$或$3+\sqrt{5}$
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