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$\frac{9}{5}$
解：设正方形$EFMN$的边长为$x\ \mathrm{cm}，$
$\because$ 四边形$EFMN$是正方形，
$\therefore MN// AB，$
$\therefore △ CMN∽△ CBA，$
$\therefore \frac{AC - x}{AC}=\frac{x}{AB}，$
将$AB=2\ \mathrm{cm}，$$AC=4\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{4 - x}{4}=\frac{x}{2}，$
$2(4 - x)=4x，$
$8 - 2x=4x，$
$6x=8，$
$x=\frac{4}{3}，$
答：正方形的边长为$\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}。$
解：分三种情况讨论：
​$ ① $​当​$0≤ t≤\frac {2}{3}$​时，
​$ S=(\frac {4}{3})^2 - \frac {1}{2}· t· 2t=\frac {16}{9}-t^2；$​
​$ ② $​当​$\frac {2}{3}＜t≤\frac {4}{3}$​时，
​$ S=\frac {1}{2}×[\frac {4}{3}+(\frac {4}{3}-2(t-\frac {2}{3}))]×\frac {4}{3}=\frac {20}{9}-\frac {4}{3}t；$​
​$ ③ $​当​$\frac {4}{3}＜t≤2$​时，
​$ S=\frac {1}{2}·(2 - t)·2(2 - t)=(2 - t)^2。$​
综上，​$S $​与​$t $​的函数表达式为：
​$ S=\begin {cases}\frac {16}{9}-t^2&(0≤ t≤\frac {2}{3}) \\\frac {20}{9}-\frac {4}{3}t&(\frac {2}{3}＜t≤\frac {4}{3}) \\(2 - t)^2&(\frac {4}{3}＜t≤2)\end {cases}$​
解：​$(2)$​过点​$F_{作}BC$​的延长线的垂线，垂足为​$H，$​
∵​$∠ GEF=90°，$​​$∠ C=90°，$​
∴​$∠ DEG+∠ FEH=90°，$​​$∠ DEG+∠ EDC=90°，$​
∴​$∠ EDC=∠ FEH，$​
∵​$G $​是​$DE$​中点，​$EG=EF，$​
∴​$EG=EF=\frac {1}{2}DE，$​
∴​$△ EHF∼△ DCE，$​相似比为​$\frac {1}{2}，$​
∴​$FH=\frac {1}{2}CE=\frac {x}{2}，$​​$EH=\frac {1}{2}CD=4，$​
∴​$CH=|4 - x|，$​
∴​$CF=\sqrt {CH^2+FH^2}=\sqrt {(4 - x)^2+(\frac {x}{2})^2}=\sqrt {\frac {5}{4}x^2-8x+16}，$​
​$ $​当​$x=\frac {16}{5}$​时，​$CF $​取得最小值，
​$ $​最小值为​$\sqrt {\frac {5}{4}×(\frac {16}{5})^2-8×\frac {16}{5}+16}=\frac {4\sqrt {5}}{5}，$​
答：​$CF $​的最小值为​$\frac {4\sqrt {5}}{5}。$​
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