解：$(1)\ \mathrm {A}E=\sqrt {2}CD$
$ $在$Rt△ABC$中，$AC=BC=4，$$∠ACB=90°，$
$ $所以$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=4\sqrt {2}，$$∠ ABC=45°。$
$ $因为四边形$BDEF $是正方形，
所以$BD=BE，$$∠ DBE=90°，$
$ $所以$∠ ABC+∠ CBE=∠ DBE+∠ CBE，$
即$∠ ABE=∠ CBD。$
$ $又因为$\frac {AB}{CB}=\frac {4\sqrt {2}}{4}=\sqrt {2}，$$\frac {BE}{BD}=\sqrt {2}，$
$ $所以$△ABE∽△CBD(\mathrm {SAS})，$
$ $因此$\frac {AE}{CD}=\sqrt {2}，$
即$AE=\sqrt {2}CD。$
$(2)$∵$AC=BC=4，$$∠ ACB=90°，$
∴$AB=\sqrt {2}BC=4\sqrt {2}，$
∴当$A、$$E、$$F $三点在一直线上时，
$∠ AFB=90°，$
∴$AF=\sqrt {AB^2-BF^2}=\sqrt {32 - 4}=2\sqrt {7}，$
如图$1，$当$AE$在$AB$左上方时，
$AE=AF=EF=2\sqrt {7}-2，$
∵$AE=2CD，$
∴$CD=\frac {\sqrt {2}}{2}AE=\sqrt {14}-\sqrt {2}$
如图$2，$当$AE$在$AB$右下方时
同理，$AE=AF+EF=2\sqrt {7}+2，$
∴$CD=\sqrt {14}+\sqrt {2}，$
综上所述，当$A、$$E、$$F $三点在一直线上时，
$CD$的长为$\sqrt {14}-\sqrt {2}$或$\sqrt {14}+\sqrt {2}；$
