$ $解$：(2)$由题意$，$得加入$m_{克糖}，$糖水为$(a+m)$克$，$糖为$(b+m)$克$，$
$ $则糖水的浓度为$\frac {b+m}{a+m}.$
∵糖水加糖后会变甜,即糖水的浓度变大,
∴$\frac {b}{a}＜\frac {b+m}{a+m}.$证明如下$：$
$ \frac {b+m}{a+m}-\frac {b}{a}=\frac {(b+m)a-b(a+m)}{a(a+m)}$
$ =\frac {ab+am-ab-bm}{a(a+m)}$
$ =\frac {(a-b)m}{a(a+m)}.$
∵$a＞b，$
∴$a-b＞0.$
又∵$m＞0，a+m＞0，a＞0，$
∴$\frac {b+m}{a+m}-\frac {b}{a}＞0，$即$\frac {b+m}{a+m}＞\frac {b}{a}.$
$ (3)$若有$n$杯糖水$，$分别是$a_1$克$，a_2$克$，a_3$克$，\dots ，a_n$克$，$
其中每杯中含的糖分别是$b_1$克$，b_2$克$，b_3$克$，\dots ，b_n$克$，$
若这$n$杯糖水的浓度相同$，$则$\frac {b_1}{a_1}=\frac {b_2}{a_2}=\dots =\frac {b_n}{a_n}.$
$ $将这$n$杯浓度相同的糖水倒在一个容器内$，$根据生活经验$，$糖水没有变化$，$即不变甜也不变淡$，$
由此可以得到$\frac {b_1+b_2+\dots +b_n}{a_1+a_2+\dots +a_n}=\frac {b_1}{a_1}.$
$ (4)$∵$a，b，c $为$△ ABC$的三边长$，$
∴$a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，$
∴$\frac {c}{a+b}＜1，\frac {a}{b+c}＜1，\frac {b}{a+c}＜1.$
∴由$(2)$的结论知道$\frac {c}{a+b}＜\frac {2c}{a+b+c}，\frac {a}{b+c}＜\frac {2a}{a+b+c}，\frac {b}{c+a}＜\frac {2b}{a+b+c}，$
$ $三式相加$，$得$\frac {c}{a+b}+\frac {a}{b+c}+\frac {b}{a+c}＜\frac {2c}{a+b+c}+\frac {2a}{a+b+c}+\frac {2b}{a+b+c}=\frac {2(a+b+c)}{a+b+c}=2.$
$ $即$\frac {c}{a+b}+\frac {a}{b+c}+\frac {b}{a+c}＜2.$
