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 (1) 证明：

 $\because$ 点$B,D$关于$AC$所在直线对称，

 $\therefore BD⊥ AC，$$BO=DO。$

 $\because AB// CD，$

 $\therefore ∠ ABO=∠ CDO。$

 在$△ ABO$和$△ CDO$中，

 $\begin{cases}∠ ABO=∠ CDO\\BO=DO\\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$

 $\therefore △ ABO≌△ CDO$（ASA），

 $\therefore AB=CD。$

 又$\because AB// CD，$

 $\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。

 $\because BD⊥ AC，$

 $\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。

 (2) 解：

 $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，

 $\therefore OC=OA=\frac{1}{2}AC，$$AD=BC=CD=5，$

 $\therefore BE=BC+CE=5+3=8。$

 $\because DE⊥ BC，$

 $\therefore ∠ DEB=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ CED$中，$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4，$

 在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}。$

 $\because S_{\mathrm{菱形}ABCD}=DE· BC=OC· BD，$

 $\therefore OC=\frac{DE· BC}{BD}=\frac{4×5}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}。$