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$\sqrt{2}+1$
解：​$(1) $​证明： ∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AB=CD，AD// BC$​。
由题意，可得​$AE=AB，CF=CD$​，
∴​$AE=CF$​，
∴​$DE=AD-AE，BF=BC-CF$​，即​$DE=BF$​。
​$ $​又​$DE// BF$​，
∴四边形​$BEDF $​为平行四边形。
​$ (2) $​当​$AB=1$​时，​$AE=AB=1$​，​$∠ A=90°$​，
∴​$BE=\sqrt {AB^2+AE^2}=\sqrt {2}$​。
​$ $​若四边形​$BEDF $​为菱形，则​$BE=DE=\sqrt {2}$​，
∴​$AD=AE+DE=1+\sqrt {2}$​，即​$BC=\sqrt {2}+1$​。
解：​$ (1) $​证明： ∵四边形​$ABCD$​为正方形，
∴​$AB=BC，∠ ABC=∠ BCD=90°$​，
∴​$∠ EAB+∠ AEB=90°$​。
∵​$∠ EOB=∠ AOF=90°$​，
∴​$∠ FBC+∠ AEB=90°$​，
∴​$∠ EAB=∠ FBC$​，
∴​$△ ABE≌△ BCF(\mathrm {ASA})$​，
∴​$BE=CF$​。
​$ (2) $​过点​$A$​作​$AM// GH$​交​$BC$​于点​$M$​，过点​$B$​作​$BN// EF_{交}CD$​于
点​$N$​，​$AM$​与​$BN$​交于点​$O'$​，
​$ $​则四边形​$AMHG $​和四边形​$BNFE$​均为平行四边形，
∴​$EF=BN，GH=AM$​。
∵​$∠ FOH=90°，AM// GH，EF// BN$​，
∴​$∠ NO'A=90°$​。
​$ $​由​$(1)$​的结论可得​$△ ABM≌△ BCN$​，
∴​$AM=BN$​，
∴​$GH=EF=4$​。
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