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$\sqrt{2}$
解：​$ (1) $​证明：∵​$D，E$​分别是​$AB，AC$​的中点，
∴​$DE$​是​$△ ABC$​的中位线，
∴​$DE// BC$​。
​$ $​又​$CF// AB$​，
∴四边形​$DBCF $​是平行四边形，
∴​$CF=BD$​。
∵​$D$​是​$AB$​的中点，
∴​$AD=BD$​，
∴​$CF=AD$​。
​$ $​又​$CF// AB$​，
∴四边形​$ADCF $​是平行四边形。
∵​$∠ ACB=90°$​，​$D$​是​$AB$​的中点，
∴​$CD=\dfrac {1}{2}AB=AD$​。
​$ $​又四边形​$ADCF $​是平行四边形，
∴平行四边形​$ADCF $​是菱形。
解：​$ (1) $​证明：∵​$AF=FG$​，
∴​$∠ FAG=∠ FGA$​。
∵​$AG $​平分​$∠ CAB$​，
∴​$∠ CAG=∠ FAG$​，
∴​$∠ CAG=∠ FGA$​，
∴​$AC// FG$​。
∵​$DE⊥ AC$​，
∴​$FG⊥ DE$​。
∵​$FG⊥ BC$​，
∴​$DE// BC$​，
∴​$AC⊥ BC$​，
∴​$∠ C=∠ DHG=90°$​，​$∠ CGE=∠ GED$​。
∵​$F $​是​$AD$​的中点，​$FG// AE$​，
∴​$H$​是​$ED$​的中点，
∴​$FG $​是线段​$ED$​的垂直平分线，
∴​$GE=GD$​，
∴​$∠ GDE=∠ GED$​，
∴​$∠ CGE=∠ HDG$​，
∴​$△ ECG≌△ GHD(\mathrm {AAS})$​。
​$ (2) $​过点​$G_{作}GP⊥ AB$​于点​$P$​。
∵​$AG $​平分​$∠ CAB$​，​$∠ C=90°$​，
∴​$GC=GP$​。
​$ $​又​$AG=AG$​，
∴​$Rt△ CAG≌Rt△ PAG(\mathrm {HL})$​，
∴​$AC=AP$​。
​$ $​由​$(1)$​可得​$EG=DG$​，
∴​$Rt△ ECG≌Rt△ DPG(\mathrm {HL})$​，
∴​$EC=DP$​，
∴​$AD=AP+DP=AC+EC$​。
​$ (3) $​四边形​$AEGF $​是菱形，理由如下：
∵​$∠ B=30°$​，​$DE// BC$​，
∴​$∠ ADE=30°$​，
∴​$AE=\dfrac {1}{2}AD$​，
∴​$AE=AF=FG$​。
​$ $​由​$ (1)$​得​$AE// FG$​，
∴四边形​$AEGF $​是平行四边形，
∴平行四边形​$AEGF $​是菱形。
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