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解：
​$ (1)$​
$ \begin{aligned} A&=(x-2+\frac{3}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{x+2}\\ &=[\frac{(x-2)(x+2)+3}{x+2}]·\frac{x+2}{(x+1)^2}\\ &=\frac{x^2-1}{x+2}·\frac{x+2}{(x+1)^2}\\ &=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{x-1}{x+1} \end{aligned} $
​$ (2)A$​的值不能等于​$3$​，理由如下：
令$A=3，$即$\frac{x-1}{x+1}=3，$
去分母解得$x=-2。$
当$x=-2$时，原分式的分母$x+2=0，$分式无意义，
​$ $​因此​$A$​的值不能等于​$3$​。
解：设小李平均每小时掰玉米​$x$​筐，则小张平均每小时掰玉米​$(x+2)$​筐，
根据题意得：
​$ \frac {36}{x+2}=\frac {30}{x}$​
​$ $​解得​$x=10$​。
检验：​$x=10$​是所列方程的解，且符合题意。
答：小李平均每小时掰玉米​$10$​筐。
解：​$(1)$​设甲队平均每天修复公路​$x$​千米，则乙队平均每天修复公路​$(x+3)$​千米，
根据题意得：
​$ \frac {60}{x}=\frac {90}{x+3}$​
​$ $​解得​$x=6$​，经检验符合题意，​$x+3=9$​。
答：甲队平均每天修复公路​$6$​千米，乙队平均每天修复公路​$9$​千米。
​$ (2)$​设甲队工作时间为​$m_{天}$​，则乙队工作时间为​$(15-m)$​天，总修复长度为​$w$​千米，
​$ w=6m+9(15-m)=-3m+135$​
​$ $​由题意得​$m≥2(15-m)$​，解得​$m≥10$​。
​$ $​因为​$-3＜0$​，​$w$​随​$m $​增大而减小，当​$m=10$​时​$w$​取最大值​$105$​。
答：两队最多能修复公路​$105$​千米。
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