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$\frac {α+β}{2}$或$90°-\frac {α+β}{2}$

 解：

(1)

 $\because ∠ ACB=90°,∠ BAC=30°，$

 $\therefore ∠ ABC=60°。$

 $\because EF// GH，$

 $\therefore ∠ NAM=∠ ABC=60°。$

 $\because ∠ NMQ=90°，$即$∠ AMN=90°，$

 $\therefore ∠ ANM=30°。$

 $\because ∠ MNQ=45°，$

 $\therefore ∠ ANQ=30°+45°=75°。$

 (2) 分情况画出对应示意图：

 ① 当$∠ ANQ=∠ AQN$时，

 此时$∠ AQN=∠ ANQ=∠ MNQ=45°，$

 $\therefore ∠ QAN=90°；$

 ② 当$∠ QAN=∠ AQN$时，

 $\because ∠ NMQ=90°,∠ MNQ=45°，$

 $\therefore ∠ MQN=45°，$

 $\therefore ∠ QAN=∠ AQN=45°；$

 ③ 当$∠ ANQ=∠ QAN$时，

 $\because ∠ NMQ=90°,∠ MNQ=45°，$

 $\therefore ∠ NQA=45°，$

 $\therefore ∠ QAN=∠ ANQ=\frac{1}{2}(180°-∠ NQA)=67.5°；$

 ④ 当$∠ QNA=∠ QAN$时，

 $\because ∠ NMQ=90°,∠ MNQ=45°，$

 $\therefore ∠ MQN=45°。$

 $\because ∠ QNA=∠ QAN，$

 $\therefore ∠ QAN=\frac{1}{2}∠ MQN=22.5°。$

 综上，$∠ QAN$的度数为$22.5°,45°,67.5°$或$90°。$