解：
$ (1)$
∵三个内角的平分线交于点$O$，
∴$∠ OAC+∠ OCA=\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$。
∵$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ ABC$，
∴$∠ OAC+∠ OCA=\frac {1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac {1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ AOC=180°-(∠ OAC+∠ OCA)=90°+\frac {1}{2}∠ ABC$。
$ (3)①$证明：
∵$BF $平分$∠ ABE$，
∴$∠ EBF=\frac {1}{2}∠ ABE=\frac {1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-∠ DBO$。
∵$∠ ODB=90°-∠ OBD$，
∴$∠ EBF=∠ ODB$，
∴$BF// OD$。
②
∵$BF $平分$∠ ABE$，
∴$∠ FBE=\frac {1}{2}∠ ABE=\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$，
∴$∠ F=∠ FBE-∠ BCF=\frac {1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)-\frac {1}{2}∠ ACB=\frac {1}{2}∠ BAC$。
∵$∠ F=40°$，
∴$∠ BAC=80°$。
∵$∠ F=∠ ABC=40°$，
∴$∠ ACB=60°$。
∵$CO$平分$∠ ACB$，
∴$∠ OCD=30°$。
∵$BF// OD$，
∴$∠ COD=∠ F=40°$，
∴$∠ BDO=∠ COD+∠ OCD=70°$，$∠ DOF=140°$。
∵将$△ BOD$绕点$O$顺时针旋转一定角度$α(0°＜α＜360°)$后得$△ B'OD'$，
∴$∠ B'D'O=∠ BDO=70°$。
分类讨论：
$ 1)$当$B'D'$位于$CF $下方时，
∵$B'D'// FC$，
∴$∠ COD'=∠ B'D'O=70°$，
∴$∠ DOD'=∠ COD'-∠ COD=30°$，
$ $即此时旋转角度$α=30°$；
$ 2)$当$B'D'$位于$CF $上方时，
∵$B'D'// FC$，
∴$∠ FOD'=∠ B'D'O=70°$，
∴$α=∠ DOF+∠ FOD'=140°+70°=210°$。
综上所述，所有符合条件的旋转角度$α$的值为$30°$或$210°$。
