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解：$\begin{cases} x+2y=k+7,① \\ 3x+5y=4k+18,② \end{cases}$
$②-①，$得$2x+3y=3k+11。$
$\because$关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x+2y=k+7 \\ 3x+5y=4k+18 \end{cases}$的解也是方程$2x+3y=11$的解，
$\therefore 3k+11=11，$
$\therefore k=0。$
解：
(1)①$\because x,y$为非负整数，
$\therefore$方程$x+2y=3$的所有非负整数解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}，$$\begin{cases} x=3 \\ y=0 \end{cases}。$
②根据题意，得$\begin{cases} x+2y=3,① \\ x+y=2,② \end{cases}$
$①-②，$得$y=1。$
将$y=1$代入②，得$x=1，$
$\therefore$原方程组的解是$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}。$
将$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$代入$x-2y+mx=-5，$得$m=-4。$
(2)当$n=3$时，原方程组可化为$\begin{cases} 3x+4y=5,① \\ x-2y+mx=-5,② \end{cases}$
$②×2，$得$2x-4y+2mx=-10,③$
$①+③，$得$(5+2m)x=-5。$
$\because$方程组有整数解，且$m$为整数，
$\therefore 5+2m=\pm1$或$5+2m=\pm5。$
当$5+2m=1$时，$m=-2，$此时方程组的解是$\begin{cases} x=-5 \\ y=5 \end{cases}；$
当$5+2m=-1$时，$m=-3，$此时方程组的解是$\begin{cases} x=5 \\ y=-\frac{5}{2} \end{cases}$（舍去）；
当$5+2m=5$时，$m=0，$此时方程组的解是$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}；$
当$5+2m=-5$时，$m=-5，$此时方程组的解是$\begin{cases} x=1 \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$（舍去）。
综上，整数$m$的值为$-2$或$0。$
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