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解：
(1) 将方程②变形，得$2x+6y+y=6，$即$2(x+3y)+y=6，$
把①代入上式，得$2×2 + y =6，$解得$y=2。$
把$y=2$代入①，得$x+6=2，$解得$x=-4，$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-4, \\ y=2. \end{cases}$
(2) 由方程③，得$2x^2 + y^2 = \frac{25+2xy}{3}，$
由方程④，得$2(2x^2 + y^2)=10-xy，$
将$2x^2 + y^2 = \frac{25+2xy}{3}$代入上式，得$2×\frac{25+2xy}{3}=10-xy，$
解得$xy=-\frac{20}{7}，$
所以$2x^2 + y^2 + xy = \frac{25+2×(-\frac{20}{7})}{3} + (-\frac{20}{7}) = \frac{25}{7}。$
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