$(2)$解$：①$点$Q $在$BC$右侧时$，$
∵$∠ ACQ+∠ ABQ=360°-(∠ EAF+∠ CQB)=360°-(56°+104°)=200°，$
∴$∠ FCQ+∠ QBE=360°-(∠ ACQ+∠ ABQ)=160°.$
∵$MN，CN$分别平分$∠ QBE，∠ QCF，$
∴$∠ DCQ+∠ QBD=\frac {1}{2}(∠ FCQ+∠ QBE)=80°.$
∵$∠ QCB+∠ CBQ=180°-∠ CQB=76°，$
∴$∠ DCB+∠ DBC=80°+76°=156°，$
∴$∠ BDC=180°-(∠ DCB+∠ DBC)=180°-156=24°；$
$②$点$Q $在$BC$左侧时$，$
∵$∠ ACB+∠ ABC=180°-∠ EAF=124°，$
$∠ QCB+∠ QBC=180°-∠ CQB=76°，$
∴$∠ ACQ+∠ ABQ=48°，$
∴$∠ FCQ+∠ QBE=360°-48°=312°，$
∴$∠ DCQ+∠ DBQ=\frac {1}{2}×312°=156°，$
∴$∠ BDC=360°-104°-156°=100°.$
综上所述$，∠ BDC$的度数为$24°$或$100°.$
$(3)$解：$∠ AOG-\frac {1}{2}∠ ACG=45°，$理由如下$：$
∵$AO，OG $分别是$∠ FAE$和$∠ CGH$的平分线$，$
∴$∠ CAO=\frac {1}{2}∠ EAF，∠ CGO=\frac {1}{2}∠ CGH.$
∵$∠ 1=∠ CAO+∠ ACG=∠ CGO+∠ AOG，$
∴$\frac {1}{2}∠ EAF+∠ ACG=\frac {1}{2}∠ CGH+∠ AOG$
即$∠ AOG-∠ ACG=\frac {1}{2}(∠ EAF-∠ CGH).$
∵$∠ ABC=∠ GBH，$
∴$∠ EAF=180°-∠ ACG-∠ ABC=180°-∠ ACG-∠ GBH，$
$∠ CGH=90°-∠ GBH，$
∴$∠ AOG-∠ ACG=\frac {1}{2}(90°-∠ ACG)，$
∴$∠ AOG-\frac {1}{2}∠ ACG=45°.$
