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第6页

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$2^n$

四

 解：

 (1) 根据杨辉三角的系数规律可得：

 $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4。$

 (2) 由二项式展开的规律可得：

 $2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1=(2-1)^5=1^5=1。$

 (3) 观察规律：

 当$n=1$时，系数和为$1+1=2=2^1；$

 当$n=2$时，系数和为$1+2+1=4=2^2；$

 当$n=3$时，系数和为$1+3+3+1=8=2^3；$

 当$n=4$时，系数和为$1+4+6+4+1=16=2^4；$

 由此可得$(a+b)^n$的展开式的系数和为$2^n。$

 (4) 对$2024^{2024}$变形得：

 $2024^{2024}=(2023+1)^{2024}=2023^{2024} + 2024×2023^{2023}+\dots+2024×2023+1，$

 因为$2023÷7=289，$即2023是7的倍数，因此展开式中除最后一项1外，其余所有项都能被7整除，可得$2024^{2024}÷7$的余数为1。

 今天是星期三，余数为1即经过1天后，因此经过$2024^{2024}$天后是星期四。