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$m＞\frac{1}{2}$
解：
(1) 由题意，得$\begin{cases}1+x_2=6\\1· x_2=2m-1\end{cases}，$
解得$\begin{cases}x_2=5\\m=3\end{cases}。$
(2) 存在。
根据题意，得$\Delta=(-6)^2-4(2m-1)≥0，$解得$m≤5。$
假设存在实数$m，$满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}，$即$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}。$
∵ $x_1+x_2=6，$$x_1x_2=2m-1，$
∴ $2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}，$
化简得$m^2-8m+12=0，$解得$m_1=2，$$m_2=6。$
∵ $m≤5$且$m-5≠0，$
∴ $m=2。$
经检验，$m=2$是原分式方程的解，且符合题意。
∴ 存在实数$m=2，$满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}。$
解：​$ (1)$​∵方程有两个实数根，
∴​$ ∆=[-(2k+1)]^2-4(k^2+2k)=1-4k≥0$​，
​$ $​解得​$k≤\frac {1}{4}$​。
​$ (2) $​不存在。理由如下：
​$ $​假设存在实数​$k$​，使得​$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$​成立。
∵​$ x_1，x_2$​是原方程的两个实数根，
∴​$ x_1+x_2=2k+1$​，​$x_1x_2=k^2+2k$​。
∵​$ x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$​，即​$x_1x_2 -x_1^2 -x_2^2≥0$​，
​$ $​整理得​$3x_1x_2-(x_1+x_2)^2≥0$​，
​$ $​代入得​$3(k^2+2k)-(2k+1)^2≥0$​，
​$ $​整理得​$(k-1)^2≤0$​，
∴​$ k=1$​。
​$ $​由​$(1)$​知​$k≤\frac {1}{4}$​，
∴​$ $​不存在实数​$k$​，使得​$x_1(x_2-x_1)-x_2^2≥0$​成立。
解：
∵方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n，$
∴ $m^2-2024m-2025=0，$$n^2-2024n-2025=0，$$m+n=2024，$$mn=-2025，$
∴ $m^2=2024m+2025，$$n^2=2024n+2025，$
∴ $(m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)$
$=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)$
$=(m-1)(n-1)$
$=mn-(m+n)+1$
$=-2025-2024+1$
$=-4048$
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