解：$ (2) $连接$PA$，
设$S_{△ BPD}=a$，$S_{△ APF}=b$，$S_{△ BCP}=c$。
$ $因为$AD=2DB$，$CF=2AF$，
$ $所以$S_{△ APD}=2S_{△ BPD}=2a$，
$S_{△ CPF}=2S_{△ APF}=2b$，
$S_{△ ACD}=2S_{△ BCD}$，
$S_{△ BCF}=2S_{△ ABF}$，
$ $可得$2a + b + 2b = 2(a + c)$，$2b + c = 2(a + 2a + b)$，
$ $化简得$2c=3b$，$c=6a$，代入得$12a=3b$，
即$b=4a$。
$ $因为$△ ABC$的面积为$1$，
所以$3a + 3b + c = 1$，
即$3a + 12a + 6a = 1$，
解得$a=\frac {1}{21}$。
$ $因此$S_{四边形ADPF}=2a + b = 6a = 6×\frac {1}{21}=\frac {2}{7}$。
$ (3) $连接$PA$，$QC$，设$S_{△ BPD}=m$，$S_{△ AFQ}=n$，
$ $由$(2)$得$S_{四边形ADPF}=6m=S_{△ BCP}$，
$S_{△ CPF}=8m$，同理$S_{△ ABQ}=6S_{△ AFQ}=6n$，
$ $则$m + 6m = n + 6n$，可得$m=n$，
即$S_{△ BPD}=S_{△ AFQ}=m$。
$ $同理可得$S_{△ CME}=S_{△ BPD}=S_{△ AFQ}=m$，
因此$S_{四边形BEMP}=6m - m=5m$。
$ $因为$BE=2EC$，$CF=2AF$，
所以$S_{△ BQE}=2S_{△ CEQ}$，$S_{△ CQF}=2S_{△ AFQ}=2m$，
$ $因此$S_{△ BQC}=6m + 8m - 2m=12m$，
可得$S_{△ BQE}=12m×\frac {2}{3}=8m$，
$ $所以$S_{△ PQM}=8m - 5m=3m=1$，
解得$m=\frac {1}{3}$。
$ $因此$S_{△ ABC}=m + 6m + 8m + 6m=21m=21×\frac {1}{3}=7$。
