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证明：​$(1) $​∵​$E$​为​$AD$​的中点，
∴​$AE = DE$​。
∵​$AF // BC$​，
∴​$∠ FAE = ∠ EDB$​。
​$ $​在​$△ AFE$​和​$△ DBE$​中，
​$ \begin {cases} ∠ FEA = ∠ BED， \\AE = DE， \\∠ FAE = ∠ BDE， \end {cases}$​
∴​$△ AFE ≌ △ DBE(\mathrm {ASA})$​。
∴​$AF = DB$​。
∵​$AD$​为​$BC$​边上的中线，
∴​$DC = DB$​。
∴​$AF = DC$​。
​$ (2) $​结论：​$AC$​，​$DF $​互相平分。
证明：∵​$AF // BC$​，
∴​$∠ AFO = ∠ CDO$​，​$∠ FAO = ∠ OCD$​。
​$ $​在​$△ AOF $​和​$△ COD$​中，
​$ \begin {cases} ∠ AFO = ∠ CDO， \\AF = CD， \\∠ FAO = ∠ OCD， \end {cases}$​
∴​$△ AOF ≌ △ COD(\mathrm {ASA})$​。
∴​$AO = CO$​，​$FO = DO$​，
即​$AC$​，​$DF $​互相平分。
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$△ ABE ≌ △ ACE，$$△ ADF ≌ △ CDB$
$AF=2CE$
解: 问题探究：
证明：延长$AB，$$CD$交于点$G。$
$∵AD$平分$∠ BAC，$$∴∠ CAD = ∠ GAD。$
$∵AD ⊥ CD，$$∴∠ ADC = ∠ ADG = 90°。$
在$△ ADC$和$△ ADG$中，
$\begin{cases} ∠ ADC = ∠ ADG, \\ AD = AD, \\ ∠ CAD = ∠ GAD, \end{cases}$
$∴△ ADC ≌ △ ADG(\mathrm{ASA})，$
$∴CD = GD，$即$CG = 2CD。$
$∵∠ BAC = ∠ BCA = 45°，$
$∴∠ ABC = 90°，$$∴∠ CBG = 90°，$
$∴∠ G + ∠ BCG = 90°。$
又$∵∠ G + ∠ BAE = 90°，$
$∴∠ BAE = ∠ BCG。$
在$△ ABE$和$△ CBG$中，
$\begin{cases} ∠ ABE = ∠ CBG = 90°, \\ AB = CB, \\ ∠ BAE = ∠ BCG, \end{cases}$
$∴△ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{ASA})，$
$∴AE = CG = 2CD。$
拓展延伸：
辅助线作法：过点$D$作$DG ⊥ BC，$交$CE$的延长线
于点$G，$可得结论$DF=2CE。$
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