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$ D$

证明：$(1)$∵$FB = CE$，

∴$FB + CF = CE + CF$，即$BC = EF$。

又∵$AB// ED$，$AC// FD$，

∴$∠ ABC = ∠ DEF$，$∠ ACB = ∠ DFE$。

$ $在$△ ABC$和$△ DEF_{中}$，

$ \begin {cases} ∠ ABC = ∠ DEF \\BC = EF \\∠ ACB = ∠ DFE \end {cases}$

∴$△ ABC ≌ △ DEF (\mathrm {ASA})$，

∴$AC = DF$。

$ $在$△ AOC$和$△ DOF_{中}$，

$ \begin {cases} ∠ AOC = ∠ DOF \\∠ ACO = ∠ DFO \\AC = DF \end {cases}$

∴$△ AOC ≌ △ DOF (\mathrm {AAS})$，

∴$AO = DO$，$CO = FO$。

∵$BF = CE$，

∴$BO = EO$，

∴$AD$与$BE$互相平分。

$\frac{1}{3}$或3

解：(1)如图①，作$QD ⊥ AC$交$AC$于$D，$

则$∠ ADQ = 90°，$

$∵∠ PAQ = 90°，$

$∴∠ PAC + ∠ DAQ = 90°。$

$∵∠ ACB = 90°，$

$∴∠ PAC + ∠ CPA = 90°，$

$∴∠ DAQ = ∠ CPA。$

又$∵∠ ADQ = ∠ C = 90°，$$AQ = AP，$

$∴△ ADQ ≌ △ PCA \ (\mathrm{AAS})，$

$∴QD = AC = 1，$

即点$Q$到直线$AC$的距离为1。

(2)证明：如图②，作$QE ⊥ MC$交直线$MC$于$E，$

则$∠ E = 90°，$

$∵∠ PAQ = 90°，$

$∴∠ EAQ + ∠ PAC = 180° - ∠ PAQ = 90°。$

$∵∠ ACP = 90°，$

$∴∠ CPA + ∠ PAC = 90°，$

$∴∠ EAQ = ∠ CPA。$

又$∵∠ E = ∠ ACP = 90°，$$AQ = AP，$

$∴△ EAQ ≌ △ CPA \ (\mathrm{AAS})，$

$∴EQ = CA。$

$∵AC = CB，$

$∴EQ = CB。$

又$∵∠ EMQ = ∠ CMB，$$∠ E = ∠ MCB = 90°，$

$∴△ EMQ ≌ △ CMB \ (\mathrm{AAS})，$

$∴BM = QM。$